Высшая математика. Бурлова Л.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

.0
1
4)(6)9(
1
4)6(
3
5
3
5
+
′
−
′
=
′
+
′
−
′
=
′
x
х
x
xy
Используя табличную производную (6) для степенной
функции, получим
.
3
11
;5)(
3
4
3
1
3
45
−−
−=
′
=
′
=
′
хх
x
хx
Окончательно имеем
.
3
4
300
3
1
456
3
4
4
3
4
4
−−
+=+
−−⋅=
′
хххxy
2) Найдем производную функции
.
2
3
arcsin
x
y
−
=
Введем промежуточный аргумент
x
u
−
=
2
3
, тогда
uy arcsin=
, по табличной формуле (15) имеем
2
/
1
1
u
y
u
−
=
.
В соответствии с правилом дифференцирования
сложной функции (19) и формулой (6) получим
[][]
.)2(3)1()2()1(3
)2()2()1(3)2(3)2(3
2
3
22
211/
−−
−−−
−=−−−=
=
′
−−−=
′
−=
′
−=
′
−
=
xx
xxxx
x
u
x
Окончательно получим
.)2(3
2
3
1
1
1
1
2
2
/
2
/// −
−⋅
−
−
=⋅
−
=⋅= x
x
u
u
uyy
xxux
3) Вычислить производную функции
.3)15ln(
12 x
xxy
−
−+=
Сначала дифференцируем у как разность
(
)
.3))15ln((
12
′
−
′
+=
′
−x
xxy
51
Применяя правила (4), (19), формулы (6) и (9), получим
.5
15
1
)15(ln2)15(
15
1
)15ln(2
))15((ln)15(ln)())15(ln(
2
2
222
⋅
+
⋅+
++=
′
+
+
++=
=
′
+++
′
=
′
+
x
x
xxx
x
xxx
xxxxxx
По формуле (8) и правилу (19) найдем производную от
x−1
3
.
()
.3ln3)1(3ln3)1(3ln33
1111 xxxx
x
−−−−
−=−=
′
−=
′
Таким образом
.3ln3
15
5
)15(ln2
1
2
x
x
x
xxy
−
+
++=
′
Большое количество примеров, заданий с ответами на
производную сложной функции можно найти в [4].
2. Исследование функции и построение графика.
Необходимое и достаточное условие
существования экстремума функции,
монотонности функции. Выпуклость,
вогнутость, точки перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции. Глобальные
экстремумы.
Рассмотрим некоторые моменты исследования.
Поскольку интервалы монотонности функции совпадают с
интервалами знакопостоянства ее первой производной, то
следует:
1)
найти первую производную, найти ее корни и точки
разрыва. Эти точки являются точками, подозрительными
на экстремум (критическими точками);
2)
отметить на числовой оси точки подозрительные на
экстремум и определить интервалы знакопостоянства у
/
.
На тех участках, где y
/
>0, функция возрастает, где y
/
<0,
функция убывает;
3)
если при переходе через критическую точку производная
меняет знак с «-» на «+» и в этой точке функция
52 
                         ′                           ′                                                         Применяя правила (4), (19), формулы (6) и (9), получим
                  1                           1 
y ′ = (6 x ) ′ −  4 3  + (9) ′ = 6( х ) ′ − 4 3  + 0.
            5                          5
                                                                                                       ( x 2 ln (5 x + 1)) ′ = ( x 2 ) ′ ln (5 x + 1) + x 2 (ln (5 x + 1)) ′ =
                     x                        x
                                                                                                                                       1
    Используя табличную производную (6) для степенной                                                  = 2 x ln(5 x + 1) + x 2              (5 x + 1) ′ = 2 x ln (5 x + 1) +
                                                                                                                                     5x + 1
функции, получим
                                                                                                                    1
                         ′  −1 ′      4                                                              + x2 ⋅            ⋅ 5.
                    1            1 −3                                                                         5x + 1
    ( x )′ = 5х ;  3  = х
       5       4              3    =− х .                                                                      По формуле (8) и правилу (19) найдем производную от
                   x        
                                    3                                                              1− x
                                                                                                   3       .
    Окончательно имеем
                             1 −4                 4 −
                                                        4                                               (3 )′ = 3
                                                                                                           1− x         1− x
                                                                                                                               ln 3(1 − x) ′ = 31− x ln 3(−1) = −31− x ln 3.
         y ′ = 6 ⋅ 5 x 4 − 4 − х 3  + 0 = 30 х 4 + х 3 .                                                                                               2
                                                                                                               Таким образом y ′ = 2 x ln (5 x + 1) + 5 x + 31− x ln 3.
                             3                    3
                                                                                                                                                             5x + 1
        2) Найдем производную функции                                                                  Большое количество примеров, заданий с ответами на
                             3                                                                     производную сложной функции можно найти в [4].
                 y = arcsin      .
                            2− x                                                                          2. Исследование функции и построение графика.
        Введем промежуточный аргумент                                                  3 , тогда             Необходимое      и     достаточное    условие
                                                                                 u=                          существования       экстремума       функции,
                                                                                      2− x
y = arcsin u , по табличной формуле (15) имеем                                                               монотонности       функции.        Выпуклость,
                                                                                                             вогнутость, точки перегиба графика функции.
                 .     1
         yu/ =                                                                                               Асимптоты графика функции. Глобальные
          1 − u2                                                                                             экстремумы.
    В соответствии с правилом дифференцирования
сложной функции (19) и формулой (6) получим                                                             Рассмотрим     некоторые      моменты     исследования.
             ′                                                                                     Поскольку интервалы монотонности функции совпадают с
        3 
u x/ =                [−1 ′        −1 ′
                                         ] [         −2
                                                          ]
             = 3(2 − x) = 3 (2 − x) = 3( −1) (2 − x) (2 − x)′ =                                   интервалами знакопостоянства ее первой производной, то
       2− x
                                                                                                   следует:
= 3(−1) ( 2 − x) − 2 (−1) = 3(2 − x) − 2 .                                                         1) найти первую производную, найти ее корни и точки
Окончательно получим                                                                                  разрыва. Эти точки являются точками, подозрительными
                           1                     1                                                    на экстремум (критическими точками);
 y x/ = yu/ ⋅ u x/ =               ⋅ u x/ =                   ⋅ 3(2 − x) − 2 .
                               2                          2
                       1− u                       3                                              2) отметить на числовой оси точки подозрительные на
                                              1−     
                                                 2− x                                               экстремум и определить интервалы знакопостоянства у/.
        3) Вычислить производную функции                                                              На тех участках, где y/>0, функция возрастает, где y/<0,
                                                                                                      функция убывает;
                           y = x 2 ln(5 x + 1) − 31− x .
                                                                                                   3) если при переходе через критическую точку производная
        Сначала дифференцируем у как разность                                                         меняет знак с «-» на «+» и в этой точке функция
                                                       ′
                    y ′ = ( x 2 ln(5 x + 1)) ′ − 31− x .              ( )
51
                                                                                                                                                                                 52

Страницы