Высшая математика. Бурлова Л.В - 27 стр.

                         ′                           ′                                                         Применяя правила (4), (19), формулы (6) и (9), получим
                  1                           1 
y ′ = (6 x ) ′ −  4 3  + (9) ′ = 6( х ) ′ − 4 3  + 0.
            5                          5
                                                                                                       ( x 2 ln (5 x + 1)) ′ = ( x 2 ) ′ ln (5 x + 1) + x 2 (ln (5 x + 1)) ′ =
                     x                        x
                                                                                                                                       1
    Используя табличную производную (6) для степенной                                                  = 2 x ln(5 x + 1) + x 2              (5 x + 1) ′ = 2 x ln (5 x + 1) +
                                                                                                                                     5x + 1
функции, получим
                                                                                                                    1
                         ′  −1 ′      4                                                              + x2 ⋅            ⋅ 5.
                    1            1 −3                                                                         5x + 1
    ( x )′ = 5х ;  3  = х
       5       4              3    =− х .                                                                      По формуле (8) и правилу (19) найдем производную от
                   x        
                                    3                                                              1− x
                                                                                                   3       .
    Окончательно имеем
                             1 −4                 4 −
                                                        4                                               (3 )′ = 3
                                                                                                           1− x         1− x
                                                                                                                               ln 3(1 − x) ′ = 31− x ln 3(−1) = −31− x ln 3.
         y ′ = 6 ⋅ 5 x 4 − 4 − х 3  + 0 = 30 х 4 + х 3 .                                                                                               2
                                                                                                               Таким образом y ′ = 2 x ln (5 x + 1) + 5 x + 31− x ln 3.
                             3                    3
                                                                                                                                                             5x + 1
        2) Найдем производную функции                                                                  Большое количество примеров, заданий с ответами на
                             3                                                                     производную сложной функции можно найти в [4].
                 y = arcsin      .
                            2− x                                                                          2. Исследование функции и построение графика.
        Введем промежуточный аргумент                                                  3 , тогда             Необходимое      и     достаточное    условие
                                                                                 u=                          существования       экстремума       функции,
                                                                                      2− x
y = arcsin u , по табличной формуле (15) имеем                                                               монотонности       функции.        Выпуклость,
                                                                                                             вогнутость, точки перегиба графика функции.
                 .     1
         yu/ =                                                                                               Асимптоты графика функции. Глобальные
          1 − u2                                                                                             экстремумы.
    В соответствии с правилом дифференцирования
сложной функции (19) и формулой (6) получим                                                             Рассмотрим     некоторые      моменты     исследования.
             ′                                                                                     Поскольку интервалы монотонности функции совпадают с
        3 
u x/ =                [−1 ′        −1 ′
                                         ] [         −2
                                                          ]
             = 3(2 − x) = 3 (2 − x) = 3( −1) (2 − x) (2 − x)′ =                                   интервалами знакопостоянства ее первой производной, то
       2− x
                                                                                                   следует:
= 3(−1) ( 2 − x) − 2 (−1) = 3(2 − x) − 2 .                                                         1) найти первую производную, найти ее корни и точки
Окончательно получим                                                                                  разрыва. Эти точки являются точками, подозрительными
                           1                     1                                                    на экстремум (критическими точками);
 y x/ = yu/ ⋅ u x/ =               ⋅ u x/ =                   ⋅ 3(2 − x) − 2 .
                               2                          2
                       1− u                       3                                              2) отметить на числовой оси точки подозрительные на
                                              1−     
                                                 2− x                                               экстремум и определить интервалы знакопостоянства у/.
        3) Вычислить производную функции                                                              На тех участках, где y/>0, функция возрастает, где y/<0,
                                                                                                      функция убывает;
                           y = x 2 ln(5 x + 1) − 31− x .
                                                                                                   3) если при переходе через критическую точку производная
        Сначала дифференцируем у как разность                                                         меняет знак с «-» на «+» и в этой точке функция
                                                       ′
                    y ′ = ( x 2 ln(5 x + 1)) ′ − 31− x .              ( )
51
                                                                                                                                                                                 52