Высшая математика. Бурлова Л.В - 27 стр.

UptoLike

Рубрика: 

.0
1
4)(6)9(
1
4)6(
3
5
3
5
+
=
+
=
x
х
x
xy
Используя табличную производную (6) для степенной
функции, получим
.
3
11
;5)(
3
4
3
1
3
45
=
=
=
хх
x
хx
Окончательно имеем
.
3
4
300
3
1
456
3
4
4
3
4
4
+=+
=
хххxy
2) Найдем производную функции
.
2
3
arcsin
x
y
=
Введем промежуточный аргумент
x
u
=
2
3
, тогда
uy arcsin=
, по табличной формуле (15) имеем
2
/
1
1
u
y
u
=
.
В соответствии с правилом дифференцирования
сложной функции (19) и формулой (6) получим
[][]
.)2(3)1()2()1(3
)2()2()1(3)2(3)2(3
2
3
22
211/
==
=
=
=
=
=
xx
xxxx
x
u
x
Окончательно получим
.)2(3
2
3
1
1
1
1
2
2
/
2
///
=
== x
x
u
u
uyy
xxux
3) Вычислить производную функции
.3)15ln(
12 x
xxy
+=
Сначала дифференцируем у как разность
(
)
.3))15ln((
12
+=
x
xxy
51
Применяя правила (4), (19), формулы (6) и (9), получим
.5
15
1
)15(ln2)15(
15
1
)15ln(2
))15((ln)15(ln)())15(ln(
2
2
222
+
+
++=
+
+
++=
=
+++
=
+
x
x
xxx
x
xxx
xxxxxx
По формуле (8) и правилу (19) найдем производную от
x1
3
.
()
.3ln3)1(3ln3)1(3ln33
1111 xxxx
x
==
=
Таким образом
.3ln3
15
5
)15(ln2
1
2
x
x
x
xxy
+
++=
Большое количество примеров, заданий с ответами на
производную сложной функции можно найти в [4].
2. Исследование функции и построение графика.
Необходимое и достаточное условие
существования экстремума функции,
монотонности функции. Выпуклость,
вогнутость, точки перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции. Глобальные
экстремумы.
Рассмотрим некоторые моменты исследования.
Поскольку интервалы монотонности функции совпадают с
интервалами знакопостоянства ее первой производной, то
следует:
1)
найти первую производную, найти ее корни и точки
разрыва. Эти точки являются точками, подозрительными
на экстремум (критическими точками);
2)
отметить на числовой оси точки подозрительные на
экстремум и определить интервалы знакопостоянства у
/
.
На тех участках, где y
/
>0, функция возрастает, где y
/
<0,
функция убывает;
3)
если при переходе через критическую точку производная
меняет знак с «-» на «+» и в этой точке функция
52