Высшая математика. Бурлова Л.В - 28 стр.

UptoLike

Рубрика: 

определена, то в этой точке функция имеет min, если
наоборот с «+» на «-», то max.
+ - + -
х
0
х
0
max min
Известно, что интервалы знакопостоянства второй
производной совпадают с промежутками выпуклости и
вогнутости графика функции. Поэтому в данном пункте
необходимо:
а) найти вторую производную, найти ее корни и точки
разрыва, которые являются точками подозрительными на
перегиб;
б) определить интервалы знакопостоянства второй
производной. На тех участках, где у
//
>0, функция вогнута,
где у
/
<0, функция выпукла;
+ -
в) если справа и слева от подозрительной точки вторая
производная имеет разные знаки, то данная точка является
точкой перегиба графика функции.
Полное исследование функции включает следующие
пункты:
а) область определения функции;
б) точки разрыва 2 рода и вертикальные асимптоты;
в) наклонные асимптоты графика функции;
г) четность, нечетность, периодичность функции;
д) точки пересечения с осями координат;
е) интервалы монотонности и точки локального экстремума;
ж) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;
з) построение графика.
Пример. Исследовать и построить график функции
2
3
)1(2 +
=
x
x
y
а) О.о.ф.:
1
x
53
б) В точке х=-1 функция терпит разрыв 2 рода, т.к.
+∞=
+
=
−∞=
+
=
++
2
3
0101
2
3
0101
)1(2
lim)(lim
)1(2
lim)(lim
x
x
xf
x
x
xf
xx
xx
Следовательно, уравнение х=-1 является уравнением
вертикальной асимптоты.
в) уравнение наклонной асимптоты ищем в виде
bkxy +
=
,
причем если
0
=
k
, то имеем горизонтальную асимптоту.
Параметры
k и b найдем по известным формулам
1
)
1
1(
)
1
2(
lim
2
1
2
1
)1(2
lim])([lim
2
1
)
1
1(
1
lim
2
1
)
1
1(
lim
2
1
)1(2
lim
)(
lim
22
2
2
3
2
22
2
2
3
=
+
=
=
+
==
=
+
=
=
+
=
+
==
x
x
x
x
x
x
x
kxxfb
x
x
x
x
xx
x
x
xf
k
x
xx
x
xxx
Наклонная асимптота существует и имеет уравнение
1
2
1
= xy
.
г)
2
3
2
3
)1(2)1(2
)(
)(
=
+
==
x
x
x
x
xy
Функция не удовлетворяет ни условию четности, ни
условию нечетности, следовательно, они не четная, ни
нечетная.
54