Высшая математика. Бурлова Л.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

определена, то в этой точке функция имеет min, если
наоборот с «+» на «-», то max.
+ - + -
х
0
х
0
max min
Известно, что интервалы знакопостоянства второй
производной совпадают с промежутками выпуклости и
вогнутости графика функции. Поэтому в данном пункте
необходимо:
а) найти вторую производную, найти ее корни и точки
разрыва, которые являются точками подозрительными на
перегиб;
б) определить интервалы знакопостоянства второй
производной. На тех участках, где у
//
>0, функция вогнута,
где у
/
<0, функция выпукла;
+ -
∪ ∩
в) если справа и слева от подозрительной точки вторая
производная имеет разные знаки, то данная точка является
точкой перегиба графика функции.
Полное исследование функции включает следующие
пункты:
а) область определения функции;
б) точки разрыва 2 рода и вертикальные асимптоты;
в) наклонные асимптоты графика функции;
г) четность, нечетность, периодичность функции;
д) точки пересечения с осями координат;
е) интервалы монотонности и точки локального экстремума;
ж) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;
з) построение графика.
Пример. Исследовать и построить график функции
2
3
)1(2 +
=
x
x
y
а) О.о.ф.:
1
−
≠
x
53
б) В точке х=-1 функция терпит разрыв 2 рода, т.к.
+∞=
+
=
−∞=
+
=
+−→+−→
−−→−−→
2
3
0101
2
3
0101
)1(2
lim)(lim
)1(2
lim)(lim
x
x
xf
x
x
xf
xx
xx
Следовательно, уравнение х=-1 является уравнением
вертикальной асимптоты.
в) уравнение наклонной асимптоты ищем в виде
bkxy +
=
,
причем если
0
=
k
, то имеем горизонтальную асимптоту.
Параметры
k и b найдем по известным формулам
1
)
1
1(
)
1
2(
lim
2
1
2
1
)1(2
lim])([lim
2
1
)
1
1(
1
lim
2
1
)
1
1(
lim
2
1
)1(2
lim
)(
lim
22
2
2
3
2
22
2
2
3
−=
+
−−
=
=
−
+
=−=
=
+
=
=
+
=
+
==
∞→
∞→∞→
∞→
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
x
x
kxxfb
x
x
x
x
xx
x
x
xf
k
x
xx
x
xxx
Наклонная асимптота существует и имеет уравнение
1
2
1
−= xy
.
г)
2
3
2
3
)1(2)1(2
)(
)(
−
−=
+−
−
=−=
x
x
x
x
xy
Функция не удовлетворяет ни условию четности, ни
условию нечетности, следовательно, они не четная, ни
нечетная.
54 
определена, то в этой точке функция имеет min, если         б) В точке х=-1 функция терпит разрыв 2 рода, т.к.
наоборот с «+» на «-», то max.                                                          x3
    +         -                 +          -                  lim f ( x) = lim                  = −∞
                                                            x → −1− 0     x → −1− 0 2( x + 1) 2
         х0                         х0
        max                          min                                                    x3
      Известно, что интервалы знакопостоянства второй        lim f ( x) = lim                       = +∞
                                                            x → −1+ 0                  2( x + 1) 2
                                                                               x → −1+ 0
производной совпадают с промежутками выпуклости и
вогнутости графика функции. Поэтому в данном пункте                Следовательно, уравнение х=-1 является уравнением
необходимо:                                                 вертикальной асимптоты.
а) найти вторую производную, найти ее корни и точки         в) уравнение наклонной асимптоты ищем в виде y = kx + b ,
разрыва, которые являются точками подозрительными на        причем если k = 0 , то имеем горизонтальную асимптоту.
перегиб;                                                    Параметры k и b найдем по известным формулам
б) определить интервалы знакопостоянства второй                        f ( x)              x3         1          x2
производной. На тех участках, где у//>0, функция вогнута,   k = lim           = lim                 =    lim            =
                                                                 x →∞    x      x → ∞ 2( x + 1) 2 x   2 x →∞ 2      1 2
где у/<0, функция выпукла;                                                                                   x (1 + )
                                                                                                                    x
         +                        -                           1             1        1
                                                            = lim                 =
        ∪                           ∩                          2 x →∞        1 2 2
                                                                      (1 + )
в) если справа и слева от подозрительной точки вторая                        x
производная имеет разные знаки, то данная точка является                                     x3            1 
точкой перегиба графика функции.                            b = lim [ f ( x) − kx] = lim              2
                                                                                                          − x =
                                                                 x →∞                  x → ∞ 2( x + 1)      2 
      Полное исследование функции включает следующие                                        
пункты:                                                                         1
а) область определения функции;                                       x 2 (−2 − )
                                                              1                 x = −1
б) точки разрыва 2 рода и вертикальные асимптоты;           = lim
                                                              2 x → ∞         1
в) наклонные асимптоты графика функции;                               x 2 (1 + ) 2
г) четность, нечетность, периодичность функции;                               x
д) точки пересечения с осями координат;                           Наклонная асимптота существует и имеет уравнение
                                                                1
е) интервалы монотонности и точки локального экстремума;    y = x − 1.
ж) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;            2
з) построение графика.                                      г) y = (− x) =     (− x) 3               x3
                                                                                            =−
      Пример. Исследовать и построить график функции                         2(− x + 1) 2        2( x − 1) 2
                              3
                             x                                   Функция не удовлетворяет ни условию четности, ни
                    y=
                         2( x + 1) 2                        условию нечетности, следовательно, они не четная, ни
а) О.о.ф.: x ≠ −1                                           нечетная.

53
                                                                                                                       54

Страницы