Высшая математика. Бурлова Л.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

III. Введение в математический анализ
1.
Функция, способы задании, область определения,
множество значений. Четность, нечетность,
периодичность функции. Основные элементарные
функции и их свойства и графики.
2.
Числовая последовательность, способы задания.
Предел числовой последовательности.
Монотонные последовательности, ограниченные.
Основное свойство монотонных
последовательностей. Число е.
3.
Предел функции. Теоремы о пределах.
Замечательные пределы. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции. Сравнение б.м. и
б.б. функций. Предел функции на бесконечности,
односторонние пределы. Неопределенные
выражения.
В основе решения задач на нахождение пределов
функций лежит понятие непрерывности функции и тот факт,
что предельная точка может не принадлежать области
определения функции.
Любая элементарная функция непрерывна в точках,
принадлежащих области определения функции
(неэлементарные функции в курсе не рассматриваются). Для
нахождения предела непрерывной функции в точке
0
х
достаточно найти значение этой функции в точке
0
х
, т.е.
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
.
Пример. Найти
1
23
lim
1
+
++
→
x
x
x
. Так как эта функция
элементарная и определена в точке х=1, то искомый предел
равен
)1(
f
:
2
2
4
11
231
)1(
1
23
lim
1
==
+
++
==
+
++
→
f
x
x
x
.
45
Если же
)(
x
f
не определена в точке
0
х
, то следует
тождественно преобразовать функцию
)(
x
f
в функцию
)(
x
g
,
непрерывную в точке
0
х
, т.е.
)(
x
f
и
)(
x
g
совпадают при
0
хx ≠
(в виду тождественности преобразований). Так как из
определения предела функции следует, что
)(lim
0
xf
xx→
не
зависит от
)(
0
xf
(
)(
0
xf
может даже не существовать, как в
рассматриваемом случае), то
)()(lim)(lim
0
00
xgxgxf
xxxx
=
=
→→
.
Пример. Найти
23
1
lim
1
−+
−
→
x
x
x
.
23
1
)(
−+
−
=
x
x
xf
не определена в точке
0
х
=1, следовательно
она разрывна в этой точке, причем имеет место
неопределенность вида
0
0
. Проведем тождественное
преобразование при
1
≠
x
:
()
)(
1
23
)1()1(
)23()1(
)23()1(23
)23()1()1(
23
1
)(
xg
x
x
xx
xx
xxx
xxx
x
x
xf
=
+
++
=
−+
++−
=
=
+++−+
+++−
=
−+
−
=
.2
11
22
1
23
lim
23
1
lim
11
=
+
+
=
+
++
=
−+
−
→→
x
x
x
x
xx
Пример. Найти
.
57
13
lim
2
2
x
x
xx
x
+−
∞→
При
∞
→
x
получаем также неопределенное выражение
∞
∞
.
Разделим числитель и знаменатель дроби на
2
х
:
46 
           III. Введение в математический анализ                         Если же f (x ) не определена в точке х 0 , то следует
                                                                тождественно преобразовать функцию f (x ) в функцию
           1. Функция, способы задании, область определения,
              множество значений. Четность, нечетность,          g (x ) ,
              периодичность функции. Основные элементарные      непрерывную в точке х 0 , т.е. f (x) и g (x ) совпадают при
              функции и их свойства и графики.                   x ≠ х0
           2. Числовая последовательность, способы задания.     (в виду тождественности преобразований). Так как из
              Предел       числовой       последовательности.   определения предела функции следует, что lim f ( x) не
              Монотонные последовательности, ограниченные.                                                                        x→ x0
              Основное          свойство          монотонных    зависит от f ( x0 ) ( f ( x0 ) может даже не существовать, как в
              последовательностей. Число е.                     рассматриваемом случае), то lim f ( x) = lim g ( x ) = g ( x0 ) .
           3. Предел    функции.    Теоремы     о   пределах.                                              x → x0       x → x0

              Замечательные пределы. Бесконечно малые и                                               x −1 .
              бесконечно большие функции. Сравнение б.м. и             Пример. Найти lim
                                                                                              x →1   x+3−2
              б.б. функций. Предел функции на бесконечности,
              односторонние     пределы.      Неопределенные                x − 1 не определена в точке х =1, следовательно
                                                                f ( x) =                                 0
              выражения.                                                   x+3−2
                                                                она     разрывна в этой точке, причем имеет место
      В основе решения задач на нахождение пределов                                                    0
                                                                неопределенность              вида       .          Проведем     тождественное
функций лежит понятие непрерывности функции и тот факт,                                                0
что предельная точка может не принадлежать области              преобразование при x ≠ 1 :
определения функции.
      Любая элементарная функция непрерывна в точках,                        x −1             ( x − 1) ( x + 1) ( x + 3 + 2)
                                                                f ( x) =          =                                           =
принадлежащих             области определения  функции
(неэлементарные функции в курсе не рассматриваются). Для                    x+3−2       (              )
                                                                                              x + 3 − 2 ( x + 1) ( x + 3 + 2)
нахождения предела непрерывной функции в точке х 0                  ( x − 1) ( x + 3 + 2)       x+3+2
                                                                =                         =           = g ( x)
достаточно найти значение этой функции в точке х 0 , т.е.              ( x + 1) ( x − 1)         x +1
 lim f ( x ) = f ( x0 ) .                                                x −1         x+3+2 2+2
x → x0
                                                                lim             = lim       =     = 2.
                                                                x →1   x + 3 − 2 x →1  x +1   1+1
     Пример. Найти lim x + 3 + 2 . Так как эта функция
                                                                                             2
                                                                       Пример. Найти lim 3x − x + 1 .
                     x →1  x +1                                                      x →∞ 7 + x − 5 x 2
элементарная и определена в точке х=1, то искомый предел                                                                                  ∞
равен f (1) :                                                   При x → ∞ получаем также неопределенное выражение                           .
                                                                                                                                          ∞
                x+3+2           1+ 3 + 2 4
         lim          = f (1) =         = = 2.                  Разделим числитель и знаменатель дроби на х 2 :
         x →1    x +1            1 +1    2
                                                                                                                                                46
45

Страницы