Динамика вращения твердого тела. Бутиков Е.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то под действием силы тяжести ось
описывает в пространстве круговой конус с вертикальной осью, так что угол наклона оси
остается неизменным. Такое движение волчка называют вынужденной прецессией (см.
рис. 7). В данном разделе приводится краткое теоретическое объяснение вынужденной
прецессии, которое иллюстрируется небольшой моделирующей компьютерной програм
-
мой
«Вынужденная прецессия гироскопа». Эта программа (Java-апплет) не требует пред-
варительной установки на компьютер, а выполняется непосредственно в браузере.
Регулярная прецессия волчка
Необычное на первый взгляд поведение гироскопа объясняется законом изменения
момента импульса под действием внешних сил. Согласно этому закону, скорость измене-
ния момента импульса L (называемого иначе угловым моментом) любого тела относи-
тельно некоторой точки равна суммарному моменту N действующих на тело внешних сил:
.N
L
=
dt
d
(1)
Когда волчок вращается вокруг собственной оси, вектор момента импульса L тоже
направлен вдоль этой оси. Направление L связано с направлением вращения волчка пра-
вилом правого винта. Будем указывать направление оси волчка в пространстве (от точки
опоры к центру масс) с помощью единичного вектора n
0
(рис. 1). Пусть I
0
– момент инер-
ции волчка относительно оси симметрии (например, для однородного диска или цилиндра
I
0
= ½mR
2
, где m – масса, R – радиус), а
ω
0
– угловая скорость вращения вокруг собствен-
ной оси (положительная при вращении против часовой стрелки). Тогда вектор момента
импульса волчка можно представить в виде L = I
0
ω
0
n
0
.
ω
пр
ω
ω
g
m
a
n
0
N
L
0
Рис. 7. Установившаяся (регулярная) прецессия гироскопа под действием силы тяжести.
Наклоненный к вертикали волчок прецессирует, т.е. помимо вращения вокруг собст-
венной оси поворачивается еще и вокруг вертикальной оси. При быстром собственном
вращении эта прецессия (поворот вокруг вертикальной оси) происходит настолько мед-
ленно, что с хорошей точностью можно пренебречь той составляющей
момента импульса,
которая обусловлена прецессией вокруг вертикали. Иными словами, приближенно можно
считать, что вектор полного момента импульса L и в этом случае направлен вдоль оси
волчка: L ≅ L
0
= I
0
ω
0
n
0
. Именно такой быстро вращающийся вокруг собственной оси вол-
чок и называют гироскопом. В приближенной теории гироскопа, основанной на законе
изменения момента импульса (1), как раз и предполагается, что вектор L равен L
0
и все
12

Страницы