Динамика вращения твердого тела. Бутиков Е.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

время направлен вдоль собственной оси волчка. Поэтому описываемое уравнением (1) по-
ведение вектора L говорит и о том, как ведет себя в пространстве ось гироскопа.
В случае тела, имеющего неподвижную точку (у детского волчка это точка опоры о
горизонтальную плоскость), уравнение (1) удобно применять именно к этой точке. Будем
называть эту точку
полюсом. При выборе полюса в точке опоры момент силы реакции,
действующей на волчок как раз в этой точке, обращается в нуль. В правой части уравне-
ния (1) остается только момент N силы тяжести mg, который в каждый момент времени
перпендикулярен вектору L. Поэтому сила тяжести может изменить только направление
L, но
не его длину, т.е. вызвать поворот вектора L, а вместе с ним и поворот оси волчка
вокруг вертикали, как это показано на рис. 7.
Пусть а – расстояние от точки опоры до центра тяжести. Тогда момент силы тяжести
можно записать как векторное произведение вектора n
0
а, проведенного из точки опоры
вдоль оси волчка в центр тяжести, на силу mg: N = n
0
а × mg. Вектор N лежит в горизон-
тальной плоскости и направлен перпендикулярно вектору n
0
, т.е. перпендикулярно оси
волчка. Движение конца оси гироскопа происходит в направлении момента N силы тяже-
сти, а не в направлении самой силы тяжести mg. Этим и объясняется «необычное» пове-
дение гироскопа. Согласно уравнению (1), за каждый малый промежуток времени dt век-
тор момента импульса L получает под действием силы тяжести
приращение dL = Ndt, на-
правленное вдоль N, т.е. лежащее в горизонтальной плоскости перпендикулярно оси
волчка. Отсюда следует, что вектор L и вместе с ним ось волчка равномерно поворачива-
ются (совершают прецессию) вокруг вертикали, проходящей через точку опоры.
Угловую скорость
ω
пр
этой прецессии можно найти, подставив L ≅ L
0
= I
0
ω
0
n
0
в ле-
вую часть уравнения (1) и N = n
0
а × mg – в правую часть. Пренебрегая трением, угловую
скорость собственного вращения
ω
0
будем считать постоянной и вынесем за знак произ-
водной. В результате уравнение (1) принимает вид:
.,или,
00
пр0пр
0
0
0
00
gωnω
n
gn
n
ω
ω
I
am
dt
d
ma
dt
d
I −=×=×=
(2)
Вектор угловой скорости прецессии
ω
пр
при
ω
0
> 0 (т.е. при вращении гироскопа
против часовой стрелки) направлен противоположно вектору g, т.е. прецессия происходит
тоже против часовой стрелки. Как следует из уравнения (2), величина угловой скорости
прецессии обратно пропорциональна угловой скорости собственного вращения
ω
0
и пря-
мо пропорциональна расстоянию a от точки опоры до центра тяжести. Она не зависит от
угла наклона оси волчка к вертикали.
Описываемое уравнением (2) поведение оси гироскопа называют регулярной пре-
цессией. Это вынужденная прецессия, так как она происходит под действием момента си-
лы тяжести. Все точки волчка, лежащие на его
оси, равномерно движутся по круговым
траекториям, центры которых лежат на вертикали, проходящей через точку опоры волчка.
На рис. 8 приведена иллюстрация регулярной прецессии гироскопа с помощью компью-
терной программы
«Вынужденная прецессия гироскопа». Программа строит траекторию,
которую прочерчивает конец оси (красная окружность), а также петлеобразную траекто-
рию некоторой точки волчка, не лежащей на оси. Для наглядности строится траектория
точки, находящейся на конце тонкой стрелки, выходящей из центра масс за пределы диска
волчка. Можно представлять себе эту стрелку как жестко связанную с телом волчка («
во-
ткнутую» в него). Траектория конца стрелки крупнее всех остальных, что позволяет на-
блюдать в программе характерные особенности траекторий точек волчка в увеличенном
масштабе. В программе расстояние от точки опоры волчка до конца стрелки выбрано рав-
ным длине оси волчка. Поэтому траектория выбранной точки и траектория конца оси ле-
жат на
поверхности одной и той же сферы с центром в точке опоры.
13

Страницы