Динамика вращения твердого тела. Бутиков Е.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

сии. Но если прецессия вектора L вокруг вертикали с угловой скоростью
ω
пр
начинается
сразу, безынерционно, то ось волчка, как и находящийся на ней центр масс, в начальный
момент еще неподвижны, т.е. их начальная скорость равна нулю. Исходя из таких началь-
ных условий, попробуем представить себе дальнейшее движение волчка как суперпози-
цию вынужденной прецессии и нутации.
Участие волчка в вынужденной прецессии означает
, что у вектора полного момента
импульса L должна быть вертикальная составляющая L
пр
, обусловленная вращением
волчка вокруг вертикали с угловой скоростью
ω
пр
. Выделим L
пр
из полного момента им-
пульса, т.е. представим L в виде суммы L
пр
+ L
1
, и будем рассматривать оставшуюся часть
L
1
как вклад собственного вращения волчка в полный момент импульса (см. рис. 11). Лег-
ко понять, что, если отвлечься от вынужденной прецессии волчка и сосредоточиться на
его собственном вращении, то связанный с этим вращением момент импульса L
1
уже не
направлен точно вдоль оси волчка: вектор L
1
отклонен от вертикали сильнее, чем ось
волчка. Отклонение L
1
от оси волчка означает, что одновременно с медленной вынужден-
ной прецессией будет происходить быстрая нутация волчка, т.е. ось волчка будет описы-
вать конус (с малым углом раствора) вокруг направления прецессирующего вектора L
1
.
Сложение этих двух движений дает для начального момента времени требуемую началь-
ными условиями нулевую скорость оси волчка (и центра масс).
Чтобы начальная скорость оси действительно получилась равной нулю при сложе-
нии двух движений, вектор L
1
должен быть отклонен от оси волчка (от вектора n
0
) на
вполне определенный угол, зависящий от угла наклона оси волчка и отношения угловых
скоростей нутации и прецессии. Именно этим углом между L
1
и n
0
определяется раствор
конуса нутации. В программе
«Вынужденная прецессия гироскопа» конус нутации выби-
рается таким, чтобы в момент освобождения оси волчка скорость оси была равна нулю.
L
1
L
L
ω
п
р
п
р
ω
пр
g
m
0
n
0
Рис. 11. Наложение нутации вокруг направления вектора L
1
на вынужденную прецессию.
Итак, отпущенная ось волчка (вектор n
0
на рис. 11) одновременно совершает два
сравнительно простых движения: по вертикальному конусу, соответствующему устано-
вившейся вынужденной прецессии (рис. 11, слева) и по малому конусу нутации вокруг
вектора момента импульса L
1
собственного вращения (рис. 11, справа) с угловой скоро-
стью
Ω
= L
1
/I
⊥
. Первому из этих движений соответствует траектория верхнего конца оси в
виде горизонтальной окружности, которая показана штриховой линией на рис. 11 слева;
второму – малая окружность, перпендикулярная вектору L
1
и показанная на рис. 11 спра-
ва. Оба движения начинаются в момент отпускания оси – до того волчок просто вращался
вокруг неподвижной оси. Сложение этих движений дает для верхнего конца оси траекто-
рию, напоминающую циклоиду, т.е. кривую, которую рисует точка на ободе колеса, катя-
щегося без проскальзывания. Моделирующая программа строит траекторию
конца оси
17

Страницы