Динамика вращения твердого тела. Бутиков Е.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Введем единичный вектор n, показывающий направление оси симметричного волчка
в пространстве, т.е. выходящий из начала системы координат (из центра масс) и направ-
ленный вдоль оси волчка. В каждый момент времени все три вектора n, L и
ω
лежат в од-
ной плоскости, и при движении тела их взаимное расположение остается неизменным.
Легко понять, что в отсутствие моментов внешних сил плоскость, содержащая векторы n,
L и
ω
, равномерно поворачивается вокруг неизменного в пространстве направления век-
тора L. В самом деле, скорость v той точки оси волчка, которая совпадает с концом векто-
ра n, выражается через угловую скорость по формуле v = dn/dt =
ω
× n. Это означает, что в
любой момент конец вектора n движется перпендикулярно рассматриваемой плоскости,
увлекая ее за собой вместе с лежащими в ней векторами n и
ω
. Таким образом, вся плос-
кость равномерно вращается вокруг L, а лежащие в ней векторы n и
ω
синхронно описы-
вают в пространстве конусы, вершины которых лежат в начале координат. О таком пове-
дении векторов n и
ω
говорят, что они совершают вокруг L регулярную прецессию.
Можно показать, что угловая скорость этой прецессии
Ω
пропорциональна моменту им-
пульса L и обратно пропорциональна центральному моменту инерции волчка I
⊥
относи-
тельно поперечной оси:
Ω
= L/I
⊥
(см. ниже раздел «Угловая скорость прецессии»). Такую
свободную прецессию оси волчка, происходящую в отсутствие внешних моментов при
несовпадении угловой скорости с осью волчка, называют также нутацией. Подчеркнем,
что ось волчка сохраняет свое направление в пространстве (не прецессирует), если при
свободном вращении угловая скорость направлена вдоль оси волчка: в таких случаях
ну-
тация не происходит.
Геометрическая интерпретация свободной прецессии
На рис. 2 показана наглядная геометрическая интерпретация поведения оси n волчка
и вектора мгновенной угловой скорости
ω
при описанной выше регулярной прецессии,
т.е. при свободном вращении симметричного волчка.
L
ω
ω
z
y
x
0
Ω
z
Ω
ω
x
ω
0
y
n
n
Рис. 2. Геометрическая интерпретация свободной прецессии симметричного волчка как
качения без проскальзывания мысленно связанного с телом подвижного аксоида по по-
верхности неподвижного аксоида (
ω
=
ω
0
+
Ω
).
5

Страницы