Динамика вращения твердого тела. Бутиков Е.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

скорости представлен в виде суммы
ω
0
+
Ω
угловых скоростей вращения тела относи-
тельно собственной оси и прецессии, а также в виде суммы взаимно ортогональных про-
дольной и поперечной (
ω
⊥
) компонент.
Такие разложения вектора
ω
на компоненты соответствуют двум различным воз-
можностям представления сложного свободного вращения твердого тела в виде суперпо-
зиции двух простых вращений. В первой возможности (
ω
=
ω
0
+
Ω
)
одно вращение проис-
ходит вокруг оси симметрии, т.е. направления n, неизменного в самом теле, а второе – во-
круг направления L, неизменного в пространстве. Векторы угловых скоростей
ω
0
и
Ω
, со-
ответствующие этим вращениям, не ортогональны друг другу.
Во второй возможности разложения вектора
ω
на компоненты одно вращение также
происходит вокруг неизменного в теле направления n, но с иной (отличной от
ω
0
) угловой
скоростью, а второе – вокруг направления, перпендикулярного к оси симметрии тела (то-
же неизменного в теле). Во втором случае две компоненты угловой скорости
ω
взаимно
ортогональны. Из рис. 3 легко заключить, что проекции каждого из векторов
ω
и
Ω
на на-
правление, перпендикулярное к оси симметрии тела, имеют одно и то же значение
ω
⊥
.
Ω
n
L
ω
ω
0
L
ω
Рис. 3. Соотношение между вектором L полного момента импульса и вектором
Ω
угловой
скорости прецессии.
Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники с общим острым углом, гипоте-
нузы которых образованы векторами L and
Ω
, а катеты – векторами L
⊥
и
ω
⊥
соответствен-
но. На основании подобия этих треугольников можно написать следующую пропорцию:
L/L
⊥
=
Ω/ω
⊥
. Принимая во внимание, что L
⊥
= I
⊥
ω
⊥
, из этой пропорции получаем искомое
выражение для угловой скорости прецессии
Ω
через момент импульса L:
Ω
= L/I
⊥
. При
малых отклонениях
ω
от n (когда
ω
⊥
<<
ω
) из этого точного соотношения следует, что уг-
ловая скорость прецессии
Ω
приближенно равна полной угловой скорости
ω
, умноженной
на отношение продольного и поперечного моментов инерции тела. Это значит, что в слу-
чае вытянутого вдоль оси тела
Ω
<
ω
(прецессия происходит медленнее, чем вращение те-
ла вокруг оси), в то время как для сплющенных тел
Ω
>
ω
. В частности, для тонкого диска
угловая скорость прецессии вдвое больше мгновенной угловой скорости:
Ω
≈ 2
ω
.
Моделирование свободной прецессии
На рис. 3 показано окно программы «Свободное вращение симметричного волчка» с
перспективной иллюстрацией свободной прецессии симметричного волчка вытянутой
формы (слева) и геометрической интерпретацией такого вращения (справа).
7

Страницы