Динамика вращения твердого тела. Бутиков Е.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

На этом рисунке вектор момента импульса L, сохраняющий свое направление в про-
странстве, для большей наглядности направлен вертикально (вдоль оси z). Вектор угловой
скорости прецессии
Ω
= L/ I
⊥
направлен вдоль L. Векторы n и
ω
лежат в одной и той же
проходящей через
Ω
вертикальной плоскости, и для вытянутого вдоль оси тела отклоне-
ны от
Ω
в одну сторону, как показано в левой части рис. 2. Вектор мгновенной угловой
скорости
ω
совершает прецессию вокруг неизменного направления вектора момента им-
пульса L с угловой скоростью
Ω
, т.е. описывает в пространстве неподвижный круговой
конус с вершиной в центре масс. Угол между осью этого конуса и образующей равен углу
отклонения вектора
ω
от направления L. Этот угол остается неизменным при движении
тела. В каждый момент времени вектор
ω
показывает направление оси вращения тела в
пространстве. Поэтому множество мгновенных осей вращения в разные моменты времени
образует в пространстве круговой конус с вершиной в центре масс тела и осью, направ-
ленной вдоль L (вертикально на рис. 2). Такой конус называют неподвижным аксоидом.
Представим себе еще один круговой конус, на этот раз
жестко связанный с телом.
Вершина этого конуса также находится в центре масс, а его ось направлена вдоль вектора
n, показывающего направление оси симметрии тела в пространстве (см. рис. 2). Пусть
угол между осью и образующей этого конуса равен неизменному при движении тела углу
между векторами n и
ω
, т.е. вектор
ω
проходит вдоль образующей конуса. Другими сло-
вами, мгновенная ось вращения
ω
в любой момент времени совпадает с одной из обра-
зующих связанного с телом конуса, а вся боковая поверхность этого конуса показывает,
как расположена мгновенная ось вращения в разные моменты времени в самом теле, т.е.
дает положение всего множества мгновенных осей вращения относительно тела. По этой
причине такой мысленно связанный
с движущимся телом круговой конус называют под-
вижным аксоидом.
Подвижный и неподвижный конусы соприкасаются своими боковыми поверхностя-
ми вдоль вектора
ω
, т.е. вдоль мгновенной оси вращения. Скорости всех точек тела, ле-
жащих в данный момент на мгновенной оси вращения, равны нулю. Это значит, что пове-
дение мысленно связанного с телом подвижного аксоида представляет собой качение без
проскальзывания по поверхности неподвижного аксоида. Точки тела, лежащие на оси
симметрии, описывают окружности, центры
которых находятся на оси неподвижного ак-
соида. Движение точек тела, не лежащих на оси симметрии, можно представить как сло-
жение двух движений, а именно, вращения тела вокруг собственной оси с одновременным
движением этой оси по конусу прецессии.
Наглядному геометрическому представлению кинематики свободного вращения
симметричного волчка в виде качения без проскальзывания подвижного
аксоида по по-
верхности неподвижного соответствует показанное на рис. 2 разложение вектора мгно-
венной угловой скорости
ω
на сумму двух составляющих векторов
ω
0
и
Ω
:
ω
=
ω
0
+
Ω
.
Вектор
ω
0
соответствует вращению тела вокруг собственной оси симметрии. На-
правление этого вектора неизменно в самом теле, а в пространстве он совершает прецес-
сию вокруг направления вектора
Ω
, описывая вместе с осью тела круговой конус. Направ-
ление второго слагаемого
Ω
неизменно в пространстве. Оно соответствует прецессии оси
симметрии тела вокруг момента импульса L, сохраняющего свое направление.
Угловая скорость прецессии
Как уже было отмечено, угловая скорость
Ω
прецессии может быть выражена через
полный момент импульса L и момент инерции тела I
⊥
относительно поперечной оси. Что-
бы получить это выражение, обратимся к рис. 3, на котором вектор
ω
мгновенной угловой
6

Страницы