Движения космических тел в компьютерных моделях. Бутиков Е.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Движения космических тел в компьютерных моделях. I. Задача Кеплера
потенциальные энергии всех осколков равны, а при одинаковых начальных скоро-
стях будут равны и кинетические энергии.
Рис. 10. Семейство эллиптических орбит спутников, вылетающих из одной точки S во всевозможных
направлениях с равными по модулю скоростями. Начальная скорость спутников немного превышает
круговую скорость (v
0
> v
кр
).
Большая ось кеплеровой орбиты однозначно связана с энергией. Поэтому
большие оси всех эллипсов равны. В соответствии с третьим законом Кеплера у всех
спутников такого семейства будут одинаковы и периоды обращения. Это значит, что
все они одновременно возвратятся в начальную точку S. Исключение составляют
лишь те осколки, траектории которых пересекают поверхность Земли
– им не суж-
дено осуществить и одного полного оборота по орбите.
Один из фокусов рассматриваемого семейства будет общим для всех эллипсов.
Он расположен в центре Земли. Докажем, что вторые фокусы всех орбит лежат на
окружности (в пространстве – на сфере), центр которой находится в начальной точке
S, а радиус равен расстоянию
SN от этой точки то точки N наибольшего удаления от
центра Земли (точки N достигает осколок, начальная скорость которого в точке S на-
правлена вертикально вверх). Эта окружность показана штриховой линией на рис.
10. В самом деле, для любой эллиптической орбиты данного семейства сумма рас-
стояний от каждой ее точки до фокусов
имеет одно и то же значение, равное длине
большой оси орбиты. Большие оси, как уже отмечалось выше, одинаковы у всех ор-
бит и равны расстоянию от центра Земли до точки N, так как этот отрезок можно
рассматривать как большую ось предельно сплющенного (вырожденного) эллипса,
соответствующего орбите осколка, вылетевшего из S
вертикально вверх в направле-
нии точки N. Все орбиты семейства проходят через точку S, и расстояние от нее до
центра Земли, т.е. до одного из фокусов, для всех орбит одинаково. Поэтому рас-
стояние от S до второго фокуса тоже одинаково для всех орбит семейства, что и оз-
начает, что вторые
фокусы всех орбит семейства лежат на указанной выше окружно-
сти.
Движение всех осколков происходит в ограниченной области пространства.
Граница этой области обладает осевой симметрией, т.е. представляет собой поверх-
ность вращения некоторой кривой вокруг оси, проходящей через центр Земли и на-
чальную точку. Эта кривая, ограничивающая область движения осколков, показана
тонкой линией на рис. 10. В каждой своей точке она касается одной из возможных
18

Страницы