Движения космических тел в компьютерных моделях. Бутиков Е.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Движения космических тел в компьютерных моделях. II. Задача многих тел
Движения космических тел в компьютерных
моделях. II. Задача многих тел
Введение. Аналитические и численные решения
Точные аналитические решения дифференциальных уравнений движения за-
мечательны тем, что описываемые такими решениями движения оказываются весьма
простыми. В частности, классическая задача Кеплера о движении тела под действи-
ем центральной силы тяготения, обратно пропорциональной квадрату расстояния,
имеет аналитическое решение, которое описывает сравнительно простые возможные
движения по коническим сечениям. К сожалению, точные решения
редко встреча-
ются в физике. При наличии возмущающих воздействий (тяготение других планет,
отличие силы тяготения небесного тела от строгой сферической симметрии, и т.п.)
уравнения движения становятся неинтегрируемыми. Присущее кеплеровым движе-
ниям «чудо» замкнутых орбит, равно как и замечательная их простота, бесследно
исчезают. Математическое исследование возмущенных движений неизмеримо ус-
ложняется.
Когда возмущающие воздействия малы по сравнению с основной силой тя-
готения, можно использовать приближенные аналитические методы. В некоторых
случаях допустимо принять кеплерово движение в качестве нулевого приближения,
считая, что возмущения вызывают сравнительно медленные изменения параметров
кеплеровой орбиты, и попытаться найти аналитические выражения для этих медлен-
ных изменений. В задачах о межпланетных
перелетах можно применять приближен-
ный аналитический метод сопряженных конических сечений (см. ниже). Когда же
возмущения нельзя считать малыми, как, например, в общем случае так называемой
задачи трех тел, даже приближенные решения получить не удается. Тогда остается
полагаться только на численные методы решения уравнений движения.
Поясним идею численных методов расчета движения.
Пусть для некоторого
начального момента времени заданы положение и скорость рассматриваемого кос-
мического тела (планеты, космического аппарата), а также расположение всех не-
бесных тел, сообщающих ему ускорение своими силами тяготения. На основе закона
всемирного тяготения можно вычислить гравитационное ускорение, сообщаемое
данному телу каждым небесным телом в отдельности, а значит, и полное
ускорение
как векторную сумму этих ускорений. Зная величину и направление скорости тела,
можно, учитывая вычисленное ускорение и считая его постоянным, рассчитать по-
ложение и скорость тела через небольшой промежуток времени («шаг» интегриро-
вания). Для найденного нового положения можно снова рассчитать ускорение тела,
и затем по той же схеме рассчитать следующее
положение тела и его скорость, и так
далее. Таким путем можно шаг за шагом проследить все движение рассматриваемого
тела.
Единственное приближение, которое при этом приходится допускать, за-
ключается в том, что в течение каждого небольшого промежутка времени (шага рас-
чета) ускорение тела считается постоянным, тогда как на самом деле оно все
время
изменяется. Но точность расчета можно повысить, уменьшая шаг интегрирования.
Конечно, за повышение точности приходится платить увеличением объема вычисле-
ний.
Мы описали здесь так называемый алгоритм Эйлера численного интегри-
рования уравнений движения, известный также как метод ломаных. Этот метод дает
сравнительно невысокую точность и приводит к накапливающимся ошибкам. Суще-
24

Страницы