Движения космических тел в компьютерных моделях. Бутиков Е.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Движения космических тел в компьютерных моделях. I. Задача Кеплера
рируемое моделирующей программой) применимо не только к движению планет во-
круг Солнца, где расстояния между тяготеющими телами велики по сравнению с их
размерами, но и к движению спутников планет по низким орбитам, так как распре-
деление плотности вещества внутри планет с хорошей точностью можно считать
сферически симметричным. При этом, разумеется
, нет необходимости, чтобы сам
спутник (или космический корабль) был сферически симметричным, так как в лю-
бом случае его размеры малы по сравнению с расстоянием до центра планеты, и его
можно рассматривать как материальную точку. Другими словами, поле тяготения
планеты на протяжении размеров корабля можно полагать однородным, а силу тяго-
тения
считать приложенной в центре масс корабля.
В моделирующей программе, иллюстрирующей первый закон Кеплера, на-
чальная скорость тела (планеты или спутника) направлена трансверсально, т.е. пер-
пендикулярно радиусу-вектору начального положения тела. При таком направлении
начальной скорости начальная точка (точка 1 на рис. 1) находится на одном из кон-
цов большой оси эллипса
.
Величину начальной скорости v
0
можно задавать произвольно по своему ус-
мотрению. Вводимое значение начальной скорости нужно выражать в единицах кру-
говой скорости v
кр
(для данной высоты начальной точки). Если выбрать значение,
большее единицы (т.е. v
0
> v
кр
), то начальная точка будет ближайшей к силовому
центру точкой эллипса. Это перигелий для планетной орбиты, или перигей для орби-
ты спутника Земли. Другой конец большой оси будет в этом случае афелием (или
апогеем в случае спутника Земли), т.е. наиболее удаленной от силового центра точ-
кой орбиты. Если задать начальную
скорость, меньшую круговой (v
0
< v
кр
), то эти
точки поменяются местами, т.е. начальная точка будет наиболее удаленной от сило-
вого центра точкой орбиты, а противоположный конец большой оси эллипса будет
ближайшей к центру точкой орбиты.
Когда начальная скорость тела превосходит скорость освобождения (v
0
> v
осв
=
1.41 v
кр
), тело удаляется в бесконечность по гиперболической траектории. Модели-
рующая программа позволяет убедиться в том, что это действительно гипербола, на
основании известного геометрического свойства, которое можно рассматривать как
определение гиперболы: для любой точки такой кривой разность расстояний от
двух заданных точек (фокусов) одинакова. Отрезки в правой части экрана в этом
случае
расположены так, что на глаз легко видеть неизменное значение их разности.
Для случая v
0
= v
осв
траектория представляет собой параболу. Доказательство
основано на геометрическом свойстве, согласно которому для любой точки парабо-
лы расстояние от фокуса (от силового центра) равно расстоянию до некоторой пря-
мой (директрисы). Выполняемое в правой части экрана геометрическое построение
наглядно показывает, что при v
0
= v
осв
это действительно так.
Второй и третий законы Кеплера
Изменение скорости планеты или спутника при движении по эллиптической
орбите количественно характеризуется вторым законом Кеплера, иначе называемым
законом площадей, согласно которому радиус-вектор, проведенный к телу из сило-
вого центра, за равные промежутки времени «заметает» равные площади.
Для иллюстрации этого закона в соответствующей моделирующей программе
пакета «Движение космических тел» путем численного
интегрирования уравнений
движения строится орбита планеты (или спутника планеты), и одновременно в каж-
дый момент вычерчивается радиус-вектор из силового центра. Через определенные
равные промежутки времени изменяется цвет выводимого на экран радиуса-вектора.
В результате на получаемом изображении соседние секторы, «заметаемые» радиу-
9

Страницы