Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
∀ ω ⊂ Ω
ω → M(ω) ω
ω → E(ω) ω
ρ(x) =
dM
dω
= lim
x∈ω,|ω|→0
M(ω)
|ω|
U(x) = ρ
−1
dE/dω |ω| ω
M(ω) =
Z
ω
ρ(x)U(x)dx, E(ω) =
Z
ω
ρ(x)U(x)dx
F (ω)
F (ω
1
∪ ω
2
) = F (ω
1
) + F (ω
2
) ω
1
, ω
2
ω
1
∩ ω
2
= ∅
x = γ(ξ, t) ξ ∈ Ω
0
Γ
ξ
=
©
x ∈ R
3
: x = γ(ξ, t), t ∈ (0, T )
ª
ω
t
=
©
x ∈ R
3
: x = γ(ξ, t), ξ ∈ ω
0
ª
=
∂γ
∂t
dx/dt = (x, t)
t
t
10                                                        Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä




     Ïîÿñíèì ñìûñë ñôîðìóëèðîâàííûõ àêñèîì. Ïåðâàÿ àêñèîìà îãðàíè÷èâàåò
ìîäåëèðîâàíèå ðàìêàìè íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêè. Àêñèîìà 2 îçíà÷àåò, ÷òî íà
ìíîæåñòâå Ω îïðåäåëåíû àääèòèâíûå íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè ìíîæåñòâ:

                             ω → M (ω)  ìàññà ω
               ∀ω⊂Ω
                             ω → E(ω)  âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ω ,

äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò îãðàíè÷åííûå ïðîèçâîäíûå ïî îáëàñòè

                         dM            M (ω)
                ρ(x) =      =    lim          ïëîòíîñòü ÑÑ,
                         dω   x∈ω,|ω|→0 |ω|

U (x) = ρ−1 dE/dω  óäåëüíàÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ÑÑ. Çäåñü |ω|  îáúåì ω .
     Èç äàííîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî
                       Z                       Z
               M (ω) = ρ(x)U (x)dx,      E(ω) = ρ(x)U (x)dx                   (2.1.8)
                         ω                           ω


     Çàìå÷àíèå 2.1.1 Ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ F (ω) íàçûâàåòñÿ àääèòèâíîé, åñëè
F (ω1 ∪ ω2 ) = F (ω1 ) + F (ω2 ) äëÿ ëþáûõ ω1 , ω2 òàêèõ, ÷òî ω1 ∩ ω2 = ∅.
     Àêñèîìà äâèæåíèÿ ïîçâîëÿåò, âî-ïåðâûõ, èíäèâèäóàëèçèðîâàòü ÷àñòèöó
x = γ(ξ, t) äëÿ ëþáîé òî÷êè ξ ∈ Ω0 . Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî
                          ©                                 ª
                      Γξ = x ∈ R3 : x = γ(ξ, t), t ∈ (0, T )
                                                    ©                                  ª
åñòü òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû, à ìíîæåñòâî ωt =               x ∈ R3 : x = γ(ξ, t), ξ ∈ ω0
íàçûâàåòñÿ äâèæóùèìñÿ îáúåìîì. Âî-âòîðûõ, èç àêñèîìû 3 ñëåäóåò ñóùå-
                          ∂γ
ñòâîâàíèå ïðîèçâîäíîé v =    , ò.å. îïðåäåëåíà ñêîðîñòü ÷àñòèöû.
                          ∂t
   Çàìå÷àíèå 2.1.2 Èç îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè âûòåêàåò, ÷òî òðàåêòîðèè ÿâ-
ëÿþòñÿ ðåøåíèåìè ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé dx/dt = v(x, t),
ïðàâàÿ ÷àñòü â êîòîðîé çàâèñèò îò ïåðåìåííîé âåëè÷èíû t, è ïîýòîìó íåëüçÿ
èõ ïóòàòü ñ ëèíèÿìè òîêà, ò.å. ñ ëèíèÿìè, îïðåäåëåííûìè äëÿ ôèêñèðîâàí-
íîãî ìîìåíòà âðåìåíè t, êàñàòåëüíàÿ ê êîòîðûì â êàæäîé òî÷êå ïàðàëëåëüíà
âåêòîðó ñêîðîñòè.

Страницы