Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F
Ω x ∈ R
3
, t ∈ (0, T )
F
t ∈ (0, T )
ξ = (ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) Ω
0
t = 0
F
0
(ξ, t)
F
0
(ξ, t) = F (γ(ξ, t), t)
(ξ, t) (x, t)
F
t
∂F
0
∂t
=
∂F
∂t
+
∂F
∂x
j
∂x
j
∂t
= F
t
+
~
∇F
Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä                                                       11

   Ñîîòíîøåíèÿ (2.1.1)-(2.1.3) îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå ÑÑ ñ âíåøíèìè ïî-
ëÿìè è äðóãèìè ÷àñòèöàìè ñðåäû.  ïÿòîé àêñèîìå íà îñíîâå ôóíäàìåí-
òàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
ñïëîøíîé ñðåäû, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñîâîêóïíîñòü èíòåãðàëüíûõ çàêîíîâ
ñîõðàíåíèÿ.


2.2 Îïèñàíèå äâèæåíèÿ ñïëîøíîé ñðåäû
Ïóñòü íåêîòîðîå ïîëå (ñêàëÿðíîå, âåêòîðíîå, òåíçîðíîå) ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðè-
ñòèêîé ÑÑ (ñêîðîñòü, ïëîòíîñòü è ò.ï.). Ðàññìîòðèì äâà îñíîâíûõ ñïîñîáà
çàäàíèÿ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòîãî ïîëÿ.

  1. Ìåòîä Ýéëåðà. Äàííîå ïîëå F , äëÿ ïðîñòîòû ñêàëÿðíîå, îïðåäåëÿåòñÿ
     íà îáëàñòè Ω êàê ôóíêöèÿ x ∈ R3 , t ∈ (0, T ). Äðóãèìè ñëîâàìè, õàðàê-
     òåðèñòèêè ñïëîøíîé ñðåäû ðàññìàòðèâàþòñÿ â ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ
     ïðîñòðàíñòâà.

  2. Ìåòîä Ëàãðàíæà. Çíà÷åíèÿ ïîëÿ F îïðåäåëÿþòñÿ íà êàæäîé ÷àñòèöå
     ñðåäû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ (0, T ).  ÷àñòíîñòè (õîòÿ ýòî è íå
     îáÿçàòåëüíî), ïîëîæåíèå êàæäîé ÷àñòèöû ìîæíî èíäèâèäóàëèçèðîâàòü
     åå êîîðäèíàòàìè ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) â íåêîòîðîì ïîëîæåíèè Ω0 , ñîîòâåòñòâó-
     þùåì ìîìåíòó âðåìåíè t = 0.

Ïóñòü çíà÷åíèå ïîëÿ â äàííîé ÷àñòèöå ðàâíî F 0 (ξ, t). Òîãäà

                            F 0 (ξ, t) = F (γ(ξ, t), t)                  (2.2.1)

Êîîðäèíàòû (ξ, t) ïðèíÿòî íàçûâàòü ëàãðàíæåâûìè, à (x, t)  ýéëåðîâûìè.
   Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïîëÿ F ïî âðåìåíè â ÷àñòèöå. Äëÿ ýòîãî ïðîäèô-
ôåðåíöèðóåì (2.2.1) ïî t:
                      ∂F 0   ∂F   ∂F ∂xj         ~
                           =    +        = Ft + v∇F                      (2.2.2)
                       ∂t    ∂t   ∂xj ∂t
   Äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, îïðåäåëÿåìûé (2.2.2), íàçûâàåòñÿ ïîëíîé
ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè èëè ïðîèçâîäíîé âäîëü òðàåêòîðèè.

Страницы