Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F =
d
dt
= (x, t).
=
d
dt
=
t
+
k
∂
∂x
k
=
t
+
∂
∂x
h i.
d
dx
x = γ(ξ, t)
x = γ(ξ, t) = ξ +
t
Z
0
(ξ, t)dτ.
dx
dt
= (x, t), x(0) = ξ,
ξ → γ(ξ, t)
∈ C
1
ξ → x
J = det
³
∂x
∂ξ
´
dJ
dt
= J div , J(0) = 1.
J(t) > 0
I(t) =
Z
ω
t
F (x, t)dx =
Z
ω
0
F
0
(ξ, t)Jdξ.
dI
dt
=
Z
ω
t
µ
dF
dt
+ F div
dx =
Z
ω
t
(F
t
+ div (F )) dx.
12                                                              Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä

     Ïðèìåðû:
/1/ Ïóñòü F = x  âåêòîðíîå ïîëå. Â ñèëó (2.2.2) èìååì
                                     dx
                                        = v(x, t).
                                     dt
                                                dv
/2/ Âû÷èñëèì óñêîðåíèå ÷àñòèöû ñðåäû a =           .
                                                dt
                                       ∂v          ∂v
                           a = vt + vk     = vt +     hvi .
                                       ∂xk         ∂x
               dv
       Çäåñü       ïðîèçâîäíûé òåíçîð âåêòîðíîãî ïîëÿ v.
               dx
     Ðàçëè÷èå ìåæäó äâóìÿ ìåòîäàìè íàãëÿäíî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè çà-
äà÷è î ïîñòðîåíèè îòîáðàæåíèÿ x = γ(ξ, t) ïî çàäàííîìó ïîëþ ñêîðîñòåé. Â
ìåòîäå Ëàãðàíæà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ
                                              Zt
                          x = γ(ξ, t) = ξ +        v(ξ, t)dτ.                   (2.2.3)
                                              0

 ñëó÷àå ýéëåðîâà îïèñàíèÿ ïðèõîäèì ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ñèñòåìû äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
                             dx
                                = v(x, t), x(0) = ξ,                            (2.2.4)
                             dt
è îòîáðàæåíèå ξ → γ(ξ, t) ñòðîèòñÿ êàê çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé
â (2.2.4).  òîì ñëó÷àå, åñëè v ∈ C1 , îòîáðàæåíèå ξ → x äèôôåðåíöèðóåìî è
                             ³ ´
ñóùåñòâóåò ÿêîáèàí J = det ∂x ∂ξ , äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ýéëåðà:

                            dJ
                               = J div V, J(0) = 1.                             (2.2.5)
                            dt
Èç (2.2.5) âûòåêàåò, ÷òî J(t) > 0.
     Ðàññìîòðèì èíòåãðàë ïî äâèæóùåìóñÿ îáúåìó
                           Z            Z
                     I(t) = F (x, t)dx = F 0 (ξ, t)Jdξ.
                             ωt               ω0

Èñïîëüçóÿ (2.2.5), íåòðóäíî âû÷èñëèòü, ÷òî
                   Z µ              ¶     Z
             dI        dF
                 =         + F div v dx = (Ft + div (F v)) dx.                  (2.2.6)
             dt         dt
                     ωt                           ωt

Страницы