Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρ, U, ,
n
, q
n
∈ C
1
(Q), ∈ C(Q),
Q = {(x, t) : x ∈ Ω
t
, t ∈ (0, T )} ⊂ R
4
n
, q
n
Z
ω
t
µ
dρ
dt
+ ρ div
dx = 0 ∀ω
t
.
ω
t
dρ
dt
+ ρ div = 0
∂ρ
∂t
+ div(ρ ) = 0.
d
dt
Z
ω
t
ρF dx =
Z
ω
t
ρ
dF
dt
dx.
Z
∂ω
t
n
dS =
Z
ω
t
dx, = ρ
µ
d
dt
−
,
14                                                       Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä

3 Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîð-
      ìå. Òåíçîð íàïðÿæåíèé
3.1 Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îñíîâíûõ óðàâíåíèé ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä, ïîòðåáóåì, ÷òî-
áû âñå ôóíêöèè, âõîäÿùèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü (2.1.4)-(2.1.7), áûëè äî-
ñòàòî÷íî ãëàäêèìè, òî åñòü

                        ρ, U, v, pn , qn ∈ C1 (Q), f ∈ C(Q),
                                                                         (3.1.1)
                  ãäå Q = {(x, t) : x ∈ Ωt , t ∈ (0, T )} ⊂ R4

è, êðîìå òîãî, pn , qn íåïðåðûâíû êàê ôóíêöèè åäèíè÷íîãî âåêòîðà n.  ýòîì
ñëó÷àå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì.

     Â êëàññå òàêèõ äâèæåíèé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû íà îñíîâàíèè ôîðìó-
ëû (2.2.6) ïðèíèìàåò âèä
                       Z µ                ¶
                              dρ
                                 + ρ div v dx = 0 ∀ωt .
                              dt
                         ωt

 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè îáúåìà ωt îòñþäà âûòåêàåò óðàâíåíèå

                   dρ                   ∂ρ
                      + ρ div v = 0 èëè    + div(ρv) = 0.                (3.1.2)
                   dt                   ∂t

Èñïîëüçóÿ (2.2.6) è (3.1.2), íåòðóäíî ïîëó÷èòü óäîáíóþ ôîðìóëó
                                Z        Z
                             d              dF
                                  ρF dx = ρ    dx.                       (3.1.3)
                             dt             dt
                               ωt          ωt




3.2 Òåíçîð íàïðÿæåíèé
Ïðèìåíÿÿ (3.1.3), ìîæíî ïåðåïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â âèäå
                   Z        Z                µ      ¶
                                               dv
                     pn dS = Wdx, W = ρ           −f ,            (3.2.1)
                                               dt
                  ∂ωt           ωt

Страницы