Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ω
t
q
n
> 0
ω
t
ρ
dU
dt
= div P h i − · P − div .
D =
1
2
µ
∂
∂x
+
∂
∗
∂x
P : D = div P h i − · P
ρ
dU
dt
= P : D − div .
P = P
∗
Ω
t
θ(x, t) ≥ 0
S(ω) =
R
ω
ρs dx ω s
dQ = θds Q
dQ = dU + dA,
16                                                        Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä

Âåêòîð q íàïðàâëåí âíóòðü ωt , êîãäà qn > 0.
     Èç èíòåãðàëüíîãî çàêîíà (3.3.1), ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Ãàóññà  Îñòðîãðàä-
ñêîãî, óðàâíåíèåì (3.2.3) è ïðîèçâîëüíîñòüþ îáúåìà ωt , ïîëó÷àåì

                    dU
                      ρ  = div P hvi − v · div P − div q.
                     dt
             µ          ¶
            1 ∂ v ∂ v∗
Òåíçîð D =        +       íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé è äëÿ
            2 ∂x    ∂x
íåãî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

                          P : D = div P hvi − v · div P

, â ñèëó êîòîðîé îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ýíåðãèè

                                 dU
                             ρ      = P : D − div q.                      (3.3.3)
                                 dt

     Çàìå÷àíèå 3.3.1 Ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ, ñôîðìó-
ëèðîâàííûõ â àêñèîìå áàëàíñà, ðàâíîñèëüíà íà êëàññå íåïðåðûâíûõ äâèæå-
íèé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (3.1.2), (3.2.3), (3.3.3) âìåñòå ñ
óñëîâèåì ñèììåòðèè P = P ∗ . Îäíàêî óêàçàííàÿ ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ çàìêíó-
òîé, ïîñêîëüêó ñîäåðæèò 5 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé è 14 íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé.


3.4 Ýëåìåíòû òåðìîäèíàìèêè
Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä, ïðåäïî-
ëîæèì ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùèõ àêñèîì

     Àêñèîìà Ò1. Íà îáëàñòè Ωt , çàíèìàåìîé ñïëîøíîé ñðåäîé, îïðåäåëåíû
ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ θ(x, t) ≥ 0  àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà, è ôóíêöèÿ ìíî-
            R
æåñòâ S(ω) = ω ρs dx  ýíòðîïèÿ ìíîæåñòâà ω ; s  óäåëüíàÿ ýíòðîïèÿ. Ïðè
ýòîì ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî dQ = θds, ãäå Q  êîëè÷åñòâî òåïëîòû.

     Àêñèîìà Ò2. Äëÿ ñïëîøíîé ñðåäû ñïðàâåäëèâû ïåðâûé è âòîðîé çàêî-
íû òåðìîäèíàìèêè, òî åñòü

                                  dQ = dU + dA,                           (3.4.1)

Страницы