Введение в механику сплошных сред. Чеботарев А.Ю. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

7→
n
Q P : Q → L(R
3
)
n
= P h i.
P
ω
t
ρ
d
dt
= P + ρ .
P
∗
= P
P
P
P P h i
P P = −p(x, t)I
p(x, t)
P
Z
∂ω
t
q
n
dS =
Z
ω
t
Ψdx, Ψ = ρ
d
dt
µ
U +
2
2
− ρ( · ) − div P h i.
7→ q
n
(x, t)
q
n
= − · .
Ìåõàíèêà Ñïëîøíûõ Ñðåä                                                    15

÷òî ïîçâîëÿåò äîêàçàòü ëèíåéíîñòü îòîáðàæåíèÿ n 7→ pn .

   Tåîðåìà. Íà îáëàñòè Q ñóùåñâóåò òåíçîðíîå ïîëå P : Q → L(R3 ) òåí-
çîðîâ ðàíãà 2 òàêîå, ÷òî
                                   pn = P hni .                       (3.2.2)

Îïåðàòîð P íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèé. Ïîäñòàâèâ (3.2.2) â (3.2.1) è
ïðèìåíèâ òåîðåìó Ãàóññà-Îñòðîãðàäñêîãî, ïîëó÷èì â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
îáúåìà ωt óðàâíåíèå èìïóëüñîâ

                                  dv
                              ρ      = divP + ρf.                     (3.2.3)
                                  dt

Ñëåäñòâèåì äðóãîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî çàêîíà, à èìåííî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
ìîìåíòà èìïóëüñà, ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ òåíçîðà íàïðÿæåíèé P ∗ = P .

   Çàìå÷àíèå 3.2.1 Ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà ñèñòåìà êîîðäèíàò
(ãëàâíàÿ ñèñòåìà), â êîòîðîé ìàòðèöà îïåðàòîðà P ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé.
Ïðè ýòîì âåëè÷èíû, ñòîÿùèå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, òî åñòü ñîáñòâåííûå çíà-
÷åíèÿ P , íàçûâàþòñÿ íîðìàëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè. Ãëàâíûìè îñÿìè òåíçîðà
P íàçûâàþò íàïðàâëåíèÿ e, äëÿ êîòîðûõ P hei è e êîëëèíåàðíû.

   Çàìå÷àíèå 3.2.2 Åñëè òåíçîð P øàðîâîé, òî åñòü P = −p(x, t)I , òî ñðåäà
íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé, à êîýôôèöèåíò p(x, t)  äàâëåíèåì.


3.3 Óðàâíåíèå ýíåðãèè
Ïðèìåíèì ðàâåíñòâî (3.1.3) ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Òîãäà, ñ ó÷åòîì
ñèììåòðèè òåíçîðà P , ïîëó÷èì
     Z        Z                  µ      ¶
                              d      v2
       qn dS = Ψdx, Ψ = ρ         U+      − ρ(v · f) − div P hvi .    (3.3.1)
                              dt     2
      ∂ωt      ωt

Ñîîòíîøåíèå (3.1.3) ïîçâîëÿåò äîêàçàòü ëèíåéíîñòü ôóíêöèîíàëà n 7→ qn , à
çíà÷èò è ñóùåñòâîâàíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ q(x, t) (âåêòîðà ïîòîêà òåïëà) òàêîãî,
÷òî
                                   qn = −q · n.                       (3.3.2)

Страницы