Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

19
Взаимно обратные операторы образуют пару, а операции интег-
рирования и дифференцирования, проводимые взаимно обратными опе-
раторами, будем называть взаимно обратными операциями.
Очевидно, что оператор нулевого порядка d
0
x является обратным
для самого себя, или самообратным.
В частности, справедливо равенство
d
–s
x
:
d
s
x = d
0
x = 1.
Заметим, что другая последовательность действия операторов
d
s
x
:
d
– s
x не будет коммутативной последовательности d
– s
x
:
d
s
x.
В связи с тем, что в рассматриваемых задачах с d-оператором мо-
гут участвовать операторы с различными сочетаниями порядков интег-
родифференцирования, можно ввести ряд понятий.
Определение. Если в рассматриваемых задачах дробного анализа
участвуют только обратные друг другу операторы порядка s (или хотя
бы один из них), то будем говорить о ветви дробного анализа порядка s.
Определение. В задачах, в которых участвуют дробные операто-
ры с разными порядками, относящиеся к нескольким ветвям ψ > 1 дроб-
ного анализа, тогда будем говорить о смешанном дробном анализе с ψ
ветвями.
Укажем на некоторые важные ветви дробного анализа.
Порядки d-операторов могут иметь как целочисленные, так и не-
целочисленные значения. Нецелочисленные порядки, в свою очередь
могут быть как рациональными, так и иррациональными.
Определение. Если порядки дифференцирования и интегрирова-
ния в рассматриваемой ветви дробного анализа будут принадлежать
только множеству натуральных чисел, s , то такой анализ будем на-
зывать целочисленным дробным анализом.
Ветви целочисленного анализа могут принимать как чѐтные, так и
нечѐтные значения порядков.
Важными случаями дробного анализа являются ветви с рацио-
нальными порядками, s .
Определение. d-операторы d
s
x, у которых порядки являются ра-
циональными числами, s , будем называть рациональными дробны-
ми операторами.
Определение. Если порядки дифференцирования и интегрирова-
ния в рассматриваемой ветви дробного анализа будут принадлежать

Страницы