Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 30 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

29
Определение. Однородные полиномы интегрирования, с коэффи-
циентом a = 1, будем называть единичными полиномами интегрирова-
ния.
Единичный полином интегрирования будем обозначать c
s
(x), то-
гда
1 2 3 4
1
( ) ...
n s s s s s
s
n
c x x x x x x
 
, (4.5)
или его можно записать в другом виде:
1 2 3 4
1
( ) ( ...)
s n s
s
n
c x x x x x x x x



. (4.6)
Рассмотрим полиномы интегрирования для операторов интегри-
рования целочисленных порядков C
m
(x). Тогда производная порядка m
от C
m
(x) должна давать ноль, что является частным случаем уравнения
(4.2):
: ( ) 0
m
m
d x C x
. (4.7)
Найдѐм соотношения для порядков операторов интегрирования и
показателей степеней степенных функций полинома интегрирования.
Очевидно, что для произвольных целочисленных порядков опера-
торов дифференцирования m = 1, 2, 3, и целочисленных показателей
степеней степенных функций с показателями степеней k 0 и
k = 0, 1, 2, 3, будут выполняться равенства
Г( 1)
:0
Г( 1 )
m k k m
k
d x x x
km



.
Второе условие связано с попаданием в полюса гамма-функции.
Для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство k + 1 m = 0, 1,
2, 3, 4, …, которое можно переписать так k = 1 + m, 2 + m,
3 + m, 4 + m,
В случае, когда выполняется условие k + 1 m 0 или когда
k m 1, тогда значения переменной в этих точках соответствуют по-
люсам гамма-функции, и поэтому она обращается в бесконечность. Это
значит, что для случаев целочисленных порядков показателей операто-
ров дифференцирования полиномы интегрирования будут обрываться,