Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30
когда степени будут ограничиваться целочисленными значениями при
k m – 1, m – 2, m – 3, … , 2, 1, 0.
Окончательно получим, что для любого оператора целочисленно-
го порядка d
–m
x полиномы интегрирования C
m
(x) будут иметь конечное
число слагаемых, равное порядку оператора интегрирования m:
1
2 3 2 1
0 1 2 3 2 1
0
( ) ...
m
k m m
m k m m
k
C x a x a a x a x a x a x a x


, (4.8)
что совпадает с результатом полученным ранее в стандартном анали-
зе (1.4).
В (4.8) даны m констант интегрирования a
0
, a
1
, a
2
, … , a
m–2
,
a
m–1
.
В случае стандартного анализа полином интегрирования будет
константой C
1
(x) = a
0
= const, a
0
.
В этом легко убедиться:
1 1 0 0 1 1 1
Г(0 1) Г(1) Г(1)
: : 0
Г(0 1 1) Г(0)
d x a d x ax a x a x a x
.
Для порядка интегрирования s = 2 полином интегрирования будет
2
2 0 1
0
()
k
k
k
C x a x a a x
.
Покажем, что для него выполняется условие (4.7):
2 0 2 1 2
0 1 0 1
2 1 2 1
Г(0 1) Г(0 1)
:( )
Г(0 1 2) Г(1 1 2)
Г(1) Г(1) Г(1) Г(1)
0 0 0.
Г( 1) Г(0)
d x a a x a x a x
x x x x

Теорема. Производные степени n от полинома интегрирования
C
m
(x) будут давать ноль, если n и m целые положительные числа, для
которых выполняется неравенство n > m:
: ( ) 0;
n
m
d x C x n m

.

Страницы