Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

33
Первообразная функции f(x) является базовой, когда полином ин-
тегрирования в первообразной будет равен нулю C
s
(x) = 0. Множество
всех первообразных данного порядка бесконечно, а базовая первообраз-
ная одна. Все различные первообразные порядка s функции f(x) отлича-
ются полиномами интегрирования.
Определение. Неопределѐнный интеграл дробного порядка s
функции f(x) является множеством всех первообразных порядка s функ-
ции f(x).
Справедливы следующие стандартные свойства неопределѐнного
дробного интеграла: однородность и аддитивность.
1) однородность:
d
s
x
:
af(x) = ad
s
x
:
f(x) = aF
(s)
(x) + aC
s
(x) = a(F
(s)
(x) + C
s
(x)).
2) аддитивность:
d
s
x
:
(f(x) + φ(x)) = d
s
x
:
f(x) + d
s
x
:
g(x)) =
= F
(s)
(x) + Φ
(s)
(x) + O
s
(x) + G
s
(x) =
= F
(s)
(x) + Φ
(s)
(x) + C
s
(x), C
s
(x) = O
s
(x) + G
s
(x) .
Здесь функции F
(s)
(x) + Φ
(s)
(x) соответственно базовые первооб-
разные порядка s для функций f(x) и g(x); C
s
(x), O
s
(x), G
s
(x) – полиномы
интегрирования порядка s.
Однородность и аддитивность интегрирования в совокупности
дают свойство линейности дробного интегрирования.
Метод замены переменных при дробном интегродифференци-
ровании
На случай дробных порядков дифференцирования и интегрирова-
ния d-оператором степенных функций легко обобщить метод замены
переменных, который в стандартном анализе широко используется для
дифференцирования и интегрирования функций. Например, если
d-оператор действует на степенную функцию (ax)
q
, a = const, то будут
справедливы формулы
Г( 1)
:( ) ( )
Г( 1 )
s q s q s
q
d x ax a xa
qs


; (4.10)

Страницы