Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

47
§ 9. Экспоненты для дробных операторов
разных порядков
Экспонента – одна из важнейших функций, значение которой
трудно переоценить. Важнейшее свойство экспоненты заключается в
том, что она не меняется при дифференцировании и при интегрирова-
нии (с точностью до сложения с константой интегрирования).
Если выходить за рамки традиционного анализа, то представляет-
ся, что полноценную теорию можно построить только тогда, когда в ней
будут использоваться такие функции, которые будут иметь свойства
экспоненты – инвариатности по отношению к операции дифференциро-
вания, а также к операции интегрирования, но с точностью до сложения
с полиномом интегрирования.
Было показано, что экспоненты разных ветвей дробного анализа
не эквивалентны между собой [8], поэтому можно сделать вывод, что
каждая ветвь дробного анализа должна иметь свою экспоненту, которая
отлична от экспонент других ветвей.
Традиционная экспонента для дробных порядков интегродиффе-
ренцирования теряет своѐ главное свойство – не меняться при диффе-
ренцировании и при интегрировании, но с точностью до сложения с по-
линомом интегрирования. В этом легко убедиться, например, продиф-
ференцировав экспоненту exp(x) d-оператором порядка 1/2, т. е.,
d
–1/2
x
:
exp(x) ≠ exp(x).
Результат этого можно записать следующим образом:
234
1/2 1/2 1/2
0
1/2 1/2 2 3/2 3 5/2 4 7/2
:exp( ) : : 1 ...
! 1! 2! 3! 4!
2 2 2 2
... exp( ).
1 3 1 3 5 1 3 5 7
n
n
x x x x x
d x x d x d x
n
x x x x x
x






Прежде чем получить экспоненты для d-операторов любого по-
рядка, обратим внимание на свойства традиционной экспоненты exp(x).
Свойство членов ряда a
i
(x) экспоненты exp(x) при дифференциро-
вании и интегрировании в стандартном анализе (s = 1) следующее:
d
1
x
:
a
i
(x) = a
i+1
(x).
При дифференцировании все члены ряда, кроме первого, перево-
дятся в предыдущий:

Страницы