Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

49
ное равенству справедливому для традиционной экспоненты, при диф-
ференцировании оно даѐт ноль:
1
:0
()
s
s
x
dx
s
. (9.1)
Или, расписав подробно:
1
1 1 1 1
1 (1 1 ) ( ) 1 1
:0
( ) ( ) (1 1 ) ( ) (0) (0)
s
s s s
x s s
d x x x x x
s s s s s
.
Функцию Γ
–1
(s)x
–1+s
будем называть стартовой функцией, ис-
пользуя которую можно получить экспоненту любого вещественного
порядка s ≠ 0.
Коэффициент a
1
= Γ
–1
(s) является корректирующим, он необходим
для правильного преобразования между членами ряда экспоненты
exp
s
(x).
В частности, для нулевого оператора d
0
x = 1 стартовая функция
равна нулю: x
–1
/(0) = x
–1
/ = 0.
Найдѐм экспоненты exp
s
(x) для операторов любого вещественного
порядка s ≠ 0 для любой пары обратных операторов d
s
x:
1
0 2 3
1
0
( ( ) ( ) ... ( ) ...)
()
( ) exp ( ) ( ).
()
s
s s s s n
s
sn
ss
n
x
d x d x d x d x d x
s
x
d x x C x
s



(9.2)
Здесь введѐн символ, который обозначает последовательное дей-
ствие n операторов интегрирования:
( ) : : :... :
s n s s s s s
d x d x d x d x d x d x
.
После интегрирования получим ряд для экспоненты exp
s
(x):
1 1 2 1 3 1 4 1
1
exp ( ) ...
( ) ( ) (2 ) (3 ) (4 )
ns s s s s
s
n
x x x x x
x
ns s s s s
(9.3)
Определение. Функцию exp
s
(x) будем называть дробной экспо-
нентой.

Страницы