Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

50
Если сделать сдвиг значения индекса m = n – 1, то экспоненту
можно записать в виде ряда, нумерация элементов в котором начинает-
ся с нулевого:
( 1) 1 1 2 1 3 1 4 1
0
exp ( ) ...
(( 1) ) ( ) (2 ) (3 ) (4 )
m s s s s s
s
m
x x x x x
x
m s s s s s
(9.4)
Если гамма-функцию Эйлера выразить через функцию непрерыв-
ного факториала (функция Гаусса) Π(x), Γ(x + 1) = Π(x) [14], то дроб-
ную экспоненту можно записать так:
( 1) 1 1
01
1 2 1 3 1
exp ( )
(( 1) 1) ( 1)
...
( 1) (2 1) (3 1)
m s ns
s
mn
s s s
xx
x
m s ns
x x x
s s s



(9.5)
Дробная экспонента, по сути, является бесконечным множеством
экспонент, в котором для каждого вещественного порядка s имеется не
менее одной экспоненты.
Мощность этого множества равна мощности множества всех воз-
можных порядков d-оператора, или мощности континуума.
Определение. Для конкретных вещественных чисел s дробная
экспонента будет давать экспоненты, которые будем называть частны-
ми экспонентами порядка s.
С помощью дробной экспоненты можно получить экспоненту лю-
бого вещественного порядка для любой пары обратных операторов,
подставив вместо s конкретное значение модуля их порядков | s | обрат-
ных операторов.
Дробную экспоненту можно выразить иначе, если в формуле (9.2)
сумму операторов заменить одним интегральным оператором, который
обозначим как G
s
(x). Назовѐм его генератором дробной экспоненты по-
рядка s:
00
( ) ( )
s n ns
s
nn
x d x d x




G
. (9.6)
Воздействие генератора экспоненты порядка s на стартовую
функцию порядка s даст сумму дробной экспоненты порядка s и поли-
нома интегрирования того же порядка

Страницы