Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

52
1
1
11
11
1 1 1 2 1 3 1
1
()
:exp ( ) :
()
( 1 1 ) ( ) ( ) ( )
( 1 1 ) ( ) (( 1) ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
...
(( 1) ) ( ) (2 ) (3 )
n
n
nn
nn
n s s s n
n
x
d x x d x
ns
n x n x
n n n n
x x x x x
n s s s







...
()
s
ns
Можно показать, что в дробном анализе целочисленного порядка
n возможно существование таких функций, которые, как экспоненты, не
меняются при дробном интегрировании и дифференцировании порядка
n, но не являются экспонентами соответствующего порядка n.
Рассмотрим некоторые свойства дробной экспоненты.
Теорема. Ряд дробной экспонента exp
s
(x) c порядками s ≥ 1 явля-
ется сходящимся, с радиусом сходимости R равным бесконечности
(R = ).
Теорема. Ряды дробной экспоненты exp
s
(x) c порядками s < 1
имеют особую точку x = 0, в которой они расходится, а остальные точки
являются точками сходимости рядов, с радиусом сходимости R, равным
бесконечности (R = ).
Заметим, что все степенные ряды с положительными целочислен-
ными степенями в точке x = 0 всегда сходятся [15].
Поскольку каждая отдельная ветвь дробного анализа имеет свою
экспоненту, отличную от экспонент других ветвей, имеет смысл рас-
смотреть качественные и количественные свойства частных экспонент
из рациональных ветвей дробного анализа, построить их графики и дать
их предварительную классификацию на основе, прежде всего, компью-
терных вычислений.
Экспонента в дробном анализе уже не является показательной
функцией, как в случае стандартного анализа (s = 1). В дробном анализе
экспоненты, в общем случае можно отнести к другому типу элементар-
ных функций, которые в стандартном анализе вырождаются в показа-
тельные функции.
Поэтому свойство exp
s
(–x) = (exp
s
(x))
–1
, которое выполняется для
традиционной экспоненты, для частных экспонент уже не выполняется,
т. е. в общем случае справедливо неравенство
exp
s
(–x) ≠ (exp
s
(x))
–1
, (s ≠ 1).
Воздействие на дробную экспоненту exp
s
(ax), a = const,
d-оператором интегрирования d
s
x и дифференцирования d
–s
x того же
порядка дают соотношения [16]:

Страницы