Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

53
d
–s
x
:
exp
s
(ax)
=
a
s
exp
s
(ax);
d
s
x
:
exp
s
(ax)
=
a
–s
exp
s
(ax)
+
C
s
(x).
Пример. Для дифференцирования и интегрирования экспоненты
exp (ax) в стандартном анализе (соответственно s = –1 и s = 1), в частно-
сти, получаются стандартные формулы
d
–1
x
:
exp(ax)
=
a
exp(ax);
d
1
x
:
exp(ax)
=
a
–1
exp(ax)
+
a
0
.
Пример. Для дифференцирования и интегрирования частной экс-
поненты exp
1/2
(ax) стандартного анализа (соответственно s = –1/2 и
s = 1/2) получим
d
–1/2
x
:
exp
1/2
(ax)
=
a
1/2
exp
1/2
(ax);
d
1/2
x
:
exp
1/2
(ax)
=
a
–1/2
exp
1/2
(ax)
+
C
1/2
(x).
Порядки рассматриваемых экспонент не очень сильно отличаются
от единицы, соответствующей стандартному анализу. Иррациональные
ветви в данной работе не рассматриваются. Более полный анализ част-
ных экспонент как численно, так и что более важно, аналитически, яв-
ляется значительно более сложной задачей и представляется делом бу-
дущего. Поэтому приведѐнные результаты носят предварительный ха-
рактер.
Для такого анализа необходимо экспоненты всех порядков раз-
бить на множества, в каждом из которых они будут иметь качественно
похожие свойства. Экспоненты с похожими свойствами назовѐм родст-
венными экспонентами.
Исходя из расчѐтов и из аналитических выкладок, можно выде-
лить следующие типы экспонент.
Экспоненты целочисленных порядков:
– порядок s
=
0 представляет тривиальный случай, в котором
exp
0
(x)
=
0, а родственные экспоненты отсутствуют;
– традиционная экспонента, порядок s
=
1, вырожденный случай,
родственных экспонент нет;
– чѐтные целочисленные порядки, s
=
2, 4, 6, … имеют бесконеч-
ное множество родственных экспонент;

Страницы