Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 49 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

48
d
1
x
:
a
i+1
(x) = a
i
(x).
Производная первого члена ряда экспоненты равна нулю
d
1
x
:
a
1
(x) = 0.
Расписав эту производную через d-оператор полностью, получим
1 1 0 1 1 1
1
(0 1) (1) 1
: :1 0
(0 1 1) (0)
d x a d x x x x
.
Последнее свойство говорит о том, что первый член ряда экспо-
ненты пропорционален первому члену полинома интегрирования. Но
ввиду того, что в традиционном анализе полиномом интегрирования яв-
ляется константа, то тогда первый член ряда там пропорционален кон-
станте. Данной константой должна быть единица, чтобы обеспечить ра-
венство d
1
x
:
a
1
(x) = a
2
(x).
Для задания экспоненты достаточно задать первый член ряда и
последовательно интегрировать, получая при каждом интегрировании
последующий член ряда.
Получим традиционную экспоненту описанным способом, ис-
пользуя данные соотношения между соседними членами ряда:
0 1 2 3 0
1 2 3
234
00
exp( ) ( ... ...)
(1 ... ...)1
:1 1 ... ... .
1! 2! 3! 4! ! !
n
n
nn
n
nn
x d x d x d x d x d x x
d x d x d x d x
x x x x x x
dx
nn






Распространим аналогичные свойства на экспоненты любого ве-
щественного порядка s, которые в дальнейшем будем обозначать как
exp
s
(x).
В степенном ряду экспоненты exp
s
(x) для пары обратных друг
другу d-операторов d
s
x между соседними членами имеют место соот-
ношения d
s
x: a
i
(x) = a
i+1
(x), а первым членом ряда является ненулевая
функция a
1
(x) = Γ
1
(s)x
1+s
, которая пропорциональна первому члену ря-
да полинома интегрирования C
s
(x).
Первый член ряда при действии на него обратным оператором
дифференцирования d
s
x, так чтобы выполнялось равенство, аналогич-