Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

63
Теорема. При взятии производной порядка s от полинома порядка
s получаем полином того же порядка, но степень его уменьшается на
единицу, а при интегрировании степень увеличивается на единицу:
| |( 1)
: ( ) ( )
s
sn s n
d x P x P x
;
| |( 1)
: ( ) ( ) ( )
s
sn s n s
d x P x P x C x

.
Определение. Если функцию можно продифференцировать m раз
оператором дифференцирования порядка s, пока очередная производная
не превратится в ноль, то такую функцию будем называть m-гладкой
порядка s.
Теорема. Полиномы порядка s степени n можно продифференци-
ровать n + 1 раз
1
|
( ) : ( ) 0
sn
sn
d x P x

. Или полиномы порядка s степени n
являются (n + 1)-гладкими функциями порядка s.
Теорема. Относительно операций дифференцирования и интегри-
рования порядка s дробные полиномы порядка s степени n образуют ли-
нейное пространство.
Теорема. Относительно операций умножения на число и сложе-
ния дробные полиномы порядка s степени n образуют линейное про-
странство.
Примеры дробных полиномов. В случае s = 1 имеют место поли-
номы традиционного анализа
1 2 1
1| 0 1 2 1
( ) ( ) ...
nn
n n n n
P x P x a a x a x a x a x
. (11.3)
Для порядка s = 1/3 полиномы степени n будут выглядеть сле-
дующим образом:
( 1)/3 1 2/3 1/3 0 1/3
(1/3)| 0 1 2 3
0
2/3 1 ( 2)/3 ( 1)/3 /3
4 5 3 2 1
()
... .
n
i
ni
i
n n n
n n n
P x a x a x a x a x a x
a x a x a x a x a x

(11.4)
Степенные функции в каждой ветви имеют особенности. Рас-
смотрим их.

Страницы