ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
65
Глава 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В ДРОБНОМ АНАЛИЗЕ
§ 12. Дробностепенные ряды и степенные ряды
с дробным шагом
Оператор дробного интегродифференцирования может действо-
вать не только на степенные функции, но и на более общие функции,
которые можно представить в виде степенных рядов, имеющих в дроб-
ном анализе фундаментальное значение.
Степенные ряды в дробном анализе оказались адекватным и
удобным инструментом для представления функций и для работы. При
этом оказалось, что в дробном анализе степенные ряды имеют свои осо-
бенности и, как следствие, несколько иные свойства, в отличие от ти-
пичных степенных рядов традиционного анализа.
Это видно уже из того, что полученные ранее элементарные
функции дробного анализа представляются в виде степенных рядов. Бо-
лее того, из полученных функций следует, что степенные ряды в дроб-
ном анализе в общем случае должны иметь дробные порядки с посто-
янным дробным шагом.
Поэтому имеет смысл рассмотреть вопрос о роли степенных ря-
дов с дробными степенями в дробном анализе более глубоко.
Определение. Ряды, элементы которых являются степенными
функциями любых конечных вещественных порядков, будем называть
дробностепенными рядами:
0
12
0 0 0
0
0
0 0 1 0 2 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ...
... ( ) ...; , ; , .
n
n
n n n n
nn
n n n
a x x a x x a x x a x x
a x x n n x
(12.1)
Введѐм важный частный случай дробностепенного ряда.
Определение. Дробностепенной ряд будем называть рядом с по-
стоянным шагом β, если показатели степеней α
n+1
и α
n
между соседни-
ми элементами ряда с номерами n + 1 и n различаются на постоянное
число β:
11
| | const >0; , ,
n n n n
.
Такой ряд в общем виде можно записать так:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
