Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

72
Глава 5. МНОГОЗНАЧНОСТЬ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
И ИНТЕГРАЛОВ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО И МНИМОГО АРГУМЕНТА
§ 15. Замена переменных в дробностепенных рядах
Для функции f(x), представимой степенным рядом с дробным ша-
гом s [17–18]
0
1
0
( ) ; , ; ,
sn
nn
nn
f x a x a s n n
,
можно применить формулы замены переменных (4.10), (4.11) и (4.12)
при операциях дифференцирования и интегрирования дробного порядка
s. Тогда можно переписать функцию в виде [16]
0
1
0
( ) ( ) , , , , ,
sn
nn
nn
f x a x a s n n
.
И тогда можно получить формулы, совпадающие с (4.13) и (4.14):
d
–s
x
:
f(λx) = λ
s
f
(s)
(λx), λ = const:
d
s
x
:
f(λx) = λ
–s
F
(s)
(λx) + C
s
(x).
Здесь C
s
(x) – полином интегрирования, F
(s)
(x) – базовая первооб-
разная функции f(x), или такая первообразная, в которой полином ин-
тегрирования C
s
(x) = 0.
Рассмотрим важные случаи, когда константа является отрица-
тельным –λ или мнимым числом iλ. Тогда можно получить соотношения
для интегралов и производных дробных порядков:
d
–s
x
:
f(–λx) = (–1)
s
λ
s
f
(s)
(–λx); (15.1)
d
s
x
:
f(–λx) = (–1)
–s
λ
–s
F
(s)
(–λx) + C
s
(x); (15.2)
d
–s
x
:
f(iλx) = i
s
λ
s
f
(s)
(iλx); (15.3)
d
s
x
:
f(iλx) = i
–s
λ
–s
F
(s)
(iλx) + C
s
(x). (15.4)
В случае дробного порядка дифференцирования и интегрирования
получаются дробные степени отрицательных и мнимых констант. От-

Страницы