Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

78
Рассмотрим действие произведения d-операторов и их компози-
ций на функции.
Теорема. Последовательное действие d-операторов d
s
x и d
r
x на
функцию и действие композиция этих операторов d
s+r
x на ту же функ-
цию в общем случае дают различные результаты.
Это значит, что в общем случае справедливо неравенство
: ( ) : ( )d x d x f x d x f x
 

. (17.3)
Это можно показать на примере степенных функций. При после-
довательном действии операторов d
–1
x и d
–1/2
x на константу a получим
1/2 1 1/2
: :0 0d x d x a d x
.
При действии на константу a композиции операторов d
–1
x и d
–1/2
x
даѐт
3/2 0 3/2 3/2 3/2
(1) (1) 1
:0
( 3/ 2 1) ( 1/ 2)
2
d x a x x x
.
Из этого следует, что справедливо неравенство
1/2 1 3/2
::d x d x a d x a

.
Если расписать последовательно действие двух дробных операто-
ров, то получим
( 1)
::
( 1 )
( 1) ( 1 ) ( 1)
:.
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
s q s q
q s q s s q
q
d x d x x d x x
q
q q q
x x d x x
q q s q s


Из этого равенства видно, что оно справедливо при выполнении
условий, которые можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема. Композиция операторов d
s
x и d
r
x в оператор d
s+r
x и де-
композиция оператора d
s+r
x в последовательность операторов d
s
x
·
d
r
x
при воздействии их на степенную функцию x
q
возможна, когда одно-
временно выполняются неравенства q + s ≠ –1, –2, –3, …;
q + r ≠ –1, –2, –3, …; q + s+ r ≠ –1, –2, –3, …

Страницы