Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

81
Из этих равенств очевидна не коммутативность для степенных
функций, которая характерна для традиционного анализа:
d
–s
x
·
d
s
x
:
x
q
= d
0
x
:
x
q
= 1
:
x
q
= x
q
;
d
s
x
·
d
–s
x
:
x
q
= 1
:
x
q
+ C
s
(x) = x
q
+ C
s
(x).
Будут справедливы и более общие соотношения для любых функ-
ций:
d
–s
x
·
d
s
x
:
f(x) = d
0
x
:
f(x) = 1
:
f(x) = f(x);
d
s
x
·
d
–s
x
:
f(x) = 1
:
f(x) + C
s
(x) = f(x) + C
s
(x).
Поэтому для дробностепенного интегродифференцирования спра-
ведливо неравенство
d
s
x
·
d
–s
x
:
f(x) ≠ d
–s
x d
s
x
:
f(x). (18.3)
Данный тип коммутативности удобно выразить через коммута-
тор:
[d
s
x, d
–s
x]x
q
= (d
s
x
·
d
–s
x – d
–s
x
·
d
s
x)x
q
= C
s
(x). (18.4)
В более общем случае, когда операторы, не обратные друг к дру-
гу, и их порядки не равны нулю и один из них является оператором
дифференцирования, а второй – оператором интегрирования, коммута-
тивность не выполняется:
d
s
x
·
d
–q
x ≠ d
–q
x
·
d
s
x. (18.5)
Это можно записать в виде коммутатора:
[ , ] ( )
( ) ( ) ( ) : ( ).
qs
q s s q s
qq
d x d x f x
d x d x d x d x f x C x d x C x
(18.6)
Покажем это

Страницы