Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

86
жен для дробного анализа ещѐ и в объяснительном, и в понятийном
смысле. Другими словами, менее частная теория – стандартный анализ
является образцом для построения более общей теории – дробного ана-
лиза – вообще и в частности для построения отдельных его ветвей. Име-
ет место преемственность между стандартным и дробным анализом. И
подобная взаимозависимость между более общими и менее общими
теориями в науке вполне обычно.
Стандартный анализ является не просто частным, но даже вырож-
денным случаем дробного анализа. Это видно уже по очень простым
операторам дифференцирования и интегрирования степенных функций
стандартного анализа (1.1) и (1.2), в сравнении с операторами вещест-
венных порядков (2.1). Операторы традиционного анализа легко полу-
чить из d-оператора (2.1) для частного случая порядка s = 1
11
11
0
1 1 1
0
:;
1
:;
1
: ln| | .
q q q
q q q
d
d x x x qx
dx
d x x x dx x a
q
d x x x dx x a



(20.1)
Здесь a
0
– константа интегрирования.
Формула (20.1) совпадает привычными формулами дифференци-
рования и интегрирования (1.1) и (1.2) стандартного анализа.
В формуле (20.1) первое и второе равенства являются следствием
первого и второго равенств в формуле (2.1) для s = 1, а третье равенство
представляет логарифмический случай и является следствием девятого
равенства (2.1). С третьего по шестое равенства в формуле (2.1) для по-
рядка s = 1 теряют смысл: они не имеют в нѐм аналогов из-за того, что в
них порядок дифференцирования и интегрирования s всегда нецелочис-
ленный, а рассматриваемая ветвь s = 1 имеет целочисленный порядок.
Седьмое и восьмое равенства в формуле (2.1) для порядка s = 1
дают частные случаи первого и второго равенств формуле (20.1), когда
показатель степенной функции имеет отрицательное целочисленное
значение.
Пример. Рассмотрим случай интегрирования степенной функци-
ей d-оператором, в котором отсутствует логарифмический случай, т. е.
пятая формула в (2.1) не считается истинной.
В этом случае, если применять вторую формулу интегрирования
из (2.1), получим бесконечность в полюсе гамма-функции:

Страницы