Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

87
1 1 1 1 0
0 0 0
Г( 1 1) Г(0)
:
Г( 1 1 1) Г(1) 1
d x x x a x a a
.
Данный пример показывает, что логарифмический случай важен,
если требуется, чтобы в частном случае порядка s = 1 дробный анализ
переходил в стандартный.
Наличие логарифмического случая может служить одним из кри-
териев соответствия ветви дробного анализа порядка s = 1 стандартному
анализу.
Поэтому имеет смысл сформулировать для дробного анализа важ-
ное требование, которое назовѐм принципом соответствия.
Принцип соответствия в дробном анализе заключается в том,
что в частном случае, когда порядок дифференцирования и интегриро-
вания равен 1, будем иметь ветвь дробного анализа, которая будет соот-
ветствовать традиционному анализу.
Конкретно это означает, что должен выполняться ряд простых, но
важных требований, среди которых следующие:
1) операторы дробного интегрирования и дифференцирования для
порядка s = 1 будут давать привычные формулы дифференцирования и
интегрирования;
2) в частном случае интегрирования степенной функции x
–1
дол-
жен приводить к логарифмическому случаю;
3) полином интегрирования в данном случае вырождается в кон-
станту интегрирования;
4) производная первого порядка от константы С даѐт ноль, что
следует из формулы (3.1), если в вместо s поставить 1, тогда получим
1 1 0
: : 0d x C d x Cx


;
5) элементарные и другие важные функции дробного анализа пе-
реходят в соответствующие функции стандартного анализа для порядка
s = 1 и имеют свойства, соответствующие стандартному анализу, или
теряют в нѐм смысл, или вырождаются в ноль, если в стандартном ана-
лизе в принципе невозможно существование их эквивалентов.
Таким образом, видно, что для d-оператора (2.1) принцип соответ-
ствия выполняется.
Принцип соответствия аналогичен известному принципу соответ-
ствия в физике, который требует, чтобы более общая теория содержала

Страницы