Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

89
§ 21. Ветвь дробного анализа порядка 1/2
Данную ветвь дробного анализа начали рассматривать в работе
[22]. Ветвь дробного анализа порядка 1/2, видимо, самая простая среди
ветвей с дробными рациональными порядками, поэтому она интересна
не только сама по себе, но и как модель для развития других ветвей не-
целочисленных рациональных порядков.
d-оператор порядка 1/2, действующий на степенные функции,
легко получить из (2.1), подставив непосредственно s = 1/2. Тогда для
данной ветви дробный оператор будет
1/2
1/2 1/2
1/2 1/2
1/2 1/2 1/2
1/2 3/2
Г( 1)
: , 1, 2, 3, 4,...;
Г( 1/ 2)
Г( 1)
: ( ), 1, 2, 3, 4,...;
Г( 3 / 2)
: ( 1) ( 1/ 2)!Г( 1) ;
1/ 2, 3/ 2, 5/ 2,...;
: ( 1) ( 3/ 2)!Г(
qq
qq
q q q
qq
q
d x x x q
q
q
d x x x C x q
q
d x x q q x
q
d x x q q

 

1/2
1/2
1/2
1
1/2 1/2
1
1/2 1/2
1) ( );
3/ 2, 5 / 2, 7 / 2,...;
( 1)
: ; 1, 2,3, 4,...;
( 1)!Г(1/ 2 )
( 1)
: ( ); 1, 2, 3, 4,...
( 1)!Г(3/ 2 )
q
n
nn
n
nn
x C x
q
d x x x n
nn
d x x x C x n
nn
 
 



(21.1)
Здесь C
1/2
(x) – полином интегрирования порядка 1/2, который за-
писывается в виде следующего ряда:
1/2 1/2 3/2 5/2 7/2
1/2 1 2 3 4
1
( ) ...
n
n
n
C x a x a x a x a x a x
 
(21.2)
При дифференцировании оператором d
1/2
x полинома интегриро-
вания C
1/2
(x) получим ноль:
d
– 1/2
x
:
C
1/2
(x) = 0.
Оператор можно преобразовать к более простому виду, если ис-
пользовать известные формулы для гамма-функции [7]:

Страницы