Дополнительные главы анализа. Дробное интегрирование и дробное дифференцирование на основе d-оператора. Чуриков В.А. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

93
Подействовав дважды оператором d
–1/2
x на экспоненту exp
1/2
(x),
получим опять экспоненту exp
1/2
(x):
d
–1/2
x
:
d
–1/2
x
:
exp
1/2
(x)
=
exp
1/2
(x).
Легко проверить, что производная первого порядка от экспоненты
exp
1/2
(x) не переводит еѐ саму в себя, т. е., d
–1
x
:
exp
1/2
(x) ≠ exp
1/2
(x).
Найдѐм производную d
–1
x
:
exp
1/2
(x). Вначале рассмотрим произ-
водную первого порядка d
–1
x
:
ξ
1/2
(x):
3/2 1/2 1/2
1
1/2
3 5/2 4 7/2 5 9/2
2
: ( )
2
2 2 2
...
1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9
x x x
d x x
x x x

Или окончательно получаем:
3/2
1
1/2 1/2
: ( ) ( )
2
x
d x x x


.
Это значит, что производная первого порядка d
–1
x
:
exp
1/2
(x) будет
3/2 3/2
1
1/2 1/2 1/2
:exp ( ) ( ) exp ( )
22
x
xx
d x x e x x


.
Аналогично можно получить формулы для высших производных
целочисленного порядка:
3/2 5/2
2
1/2 1/2
2
3
:exp ( ) exp ( ) ;
22
xx
d x x x


3/2 5/2 7/2
3
1/2 1/2
23
3 3 5
:exp ( ) exp ( ) ;
2 2 2
x x x
d x x x
…

Страницы