Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 12 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Из пары обратных операторов один является оператором дифферен-

цирования, а другой оператором интегрирования и образуют пару (взаим-

но)обратных операторов, а операции интегрирования и дифференцирова-

ния одного порядка s являются взаимно обратными.

Очевидно, что оператор нулевого порядка d

x является обратным

для самого себя, или самообратным.

В частности справедливо равенство

–s

x·d

x = d

x = 1.

Заметим, что данное произведение операторов не является коммута-

тивным.

В связи с тем, что в рассматриваемых задачах с дробными операто-

рами Адамара могут участвовать операторы с различными сочетаниями

порядков, можно ввести ряд понятий.

Определение. Если в рассматриваемых задачах дробного анализа

участвуют только обратные операторы порядков s и –s, или хотя бы один

из них, то будем говорить о ветви дробного анализа порядка s.

Определение. В задачах, в которых участвуют дробные операторы с

несколькими порядками, относящиеся к нескольким ветвям ψ > 1 дробного

анализа, тогда будем говорить о смешанном дробном анализе с ψ ветвями.

Укажем на некоторые важные ветви дробного анализа.

Порядки операторов Адамара могут иметь как целочисленные, так и

нецелочисленные значения. Нецелочисленные порядки, в свою очередь

могут быть рациональными и иррациональными.

Определение. Если порядки дифференцирования и интегрирования

в рассматриваемой ветви дробного анализа будут принадлежать только

множеству натуральных чисел s  , то такой анализ будем называть це-

лочисленным дробным анализом.