Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18
Интегралы дробного порядка
Интеграл дробного порядка от константы и полиномы интегри-
рования
01
:(Г( )) ( )
ss
s
d x Cx C s s x C x

.
Вывод
00
Г(1) 0! 1
: ( ) ( ) ( )
Г(1 ) Г( ) Г( )
s s s s
sss
d x Cx C x C x C x C x C x C x
s s s s s
.
Здесь C
s
(x) ≠ 0 – полином интегрирования, упоминавшийся ранее,
который появляется как слагаемое при интегрировании функций и являют-
ся обобщением константы интегрирования в стандартном анализе.
Определение. Функции C
s
(x) будем называть интегральным поли-
номом порядка s для пары обратных операторов d
s
x и d
–s
x.
Основным свойством интегральных полиномов C
s
(x) должно быть
то, что при действии на них оператором дифференцирования d
–s
x должен
получаться ноль
d
–s
x: C
s
(x) = 0.
Тогда из данного соотношения можно получить интеграл дробного
порядка от нуля если подействовать оператором интегрирования d
s
x на
данное равенство одновременно справа и слева
d
s
x:0 = C
s
(x).
Это легко показать
d
s
x:0 = d
s
x:d
–s
x:C
s
(x) = d
0
x:C
s
(x) = 1:C
s
(x) = C
s
(x).
Однородность дифференцирования полиномов интегрирования
d
s
x:aC
s
(x)= ad
s
x:C
s
(x) = 0.
Аддитивность дифференцирования полиномов интегрирования
d
s
x:(C
s
(x) + G
s
(x)) = d
s
x:C
s
(x) + d
s
x:G
s
(x) = 0.
Однородность и аддитивность в совокупности дают свойство линей-
ности дифференцирования полиномов интегрирования. Из чего следует,

Страницы