Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

23
2 0 2 1 2
0 1 0 1
2 1 2 1
Г(0 1) Г(0 1)
:( )
Г(0 1 2) Г(1 1 2)
Г(1) Г(1) Г(1) Г(1)
0 0 0.
Г( 1) Г(0)
d x a a x a x a x
x x x x

Теорема. Производные степени n от полинома интегрирования C
m
(x)
будут давать ноль, если n и m целые положительные числа, для которых
выполняется неравенство n > m
: ( ) 0,
n
m
d x C x n m

.
В неоднородных полиномах интегрирования с нецелым порядком
необходимо задавать бесконечное счѐтное множество констант интегриро-
вания, которые в различных задачах необходимо находить или задавать.
Ряд C
s
(x) может быть расходящимся или сходящими, а скорости сходимо-
сти и расходимости могут быть разными. Чем быстрей сходится ряд, то в
зависимости от условий задачи, тем меньшим количеством первых элемен-
тов ряда C
s
(x) можно ограничиться.
В случае нецелочисленных порядков s < 1, члены ряда C
s
(x) могут
обращаться в бесконечность в точке x = 0.
Полином интегрирования для оператора нулевого порядка (единич-
ного или самообратного оператора) d
0
x будет равен нулю
C
s
(x) = 0.
Пример. Неопределѐнный интеграл порядка 1/2 от константы
1/ 2 0 1/ 2
1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
Г(1)
: ( )
Г(1 1/ 2)
0! 2
( ) ( ).
Г(3/ 2)
d x C C x C x
C x C x C x C x
Частные случаи дробного интегрирования степенных функций
Дробный интеграл порядка s от степенной функции с показателем –s
перепишем в виде
0
( 1) ( 1)
: ( ) ( ) ( 1) ( )
( 1) (1)
s s s s
s s s
ss
d x x x C x x C x s C x
ss
   
 
.

Страницы