Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25
Справедливы следующие стандартные свойства неопределѐнного
дробного интеграла
Однородность
d
s
x:af(x) = ad
s
x:f(x) = aF
(s)
(x) + aC
s
(x) = a(F
(s)
(x) + C
s
(x)).
Аддитивность
d
s
x:(f(x) + φ(x)) = d
s
x:f(x) + d
s
x:g(x)) = F
(s)
(x) + Φ
(s)
(x) + C
s
(x) + G
s
(x) .
Здесь функции F
(s)
(x) + Φ
(s)
(x) соответственно базовые первообразные
порядка s для функций f(x) и g(x).
Однородность и аддитивность интегрирования в совокупности дают
свойство линейности дробного интегрирования.
Метод замены переменных при дробном интегрировании
На случай дробных порядков дифференцирования и интегрирования
оператор Адамара легко обобщить метод замены переменных, который в
стандартном анализе широко используется для дифференцирования и ин-
тегрирования функций. Например, если оператор Адамара воздействует на
степенную функцию (ax)
q
, (a = const), тогда будет справедлива формула
Г( 1)
:( ) ( )
Г( 1 )
s q s q s
q
d x ax a xa
qs


.
Вывод данной формулы
Г( 1)
:( )
Г( 1 )
Г( 1) Г( 1)
( ) .
Г( 1 ) Г( 1 )
s q q q s
s q s q s s q s
q
d x ax a x
qs
qq
a a x a xa
q s q s



В частности можно записать формулу замены переменной для опе-
ратора Адамара
d
s
x:
(ax)
q
= a
–s
d
s
(ax):
(ax)
q
.
Для дифференцирования и интегрирования в стандартном анализе
(соответственно s = –1 и s = 1), как частный случай получаются стандарт-
ные формулы

Страницы