Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24
В частном случае, когда интеграл половинного порядка, s = 1/2, а по-
казатель степени функции будет q = –1/2
1/2 1/2 1/2 1/2 0
1/2 1/2
1/2 1/2
( 1/ 2 1) ( 1/ 2 1)
: ( ) ( )
(1/ 2 1/ 2 1) (1)
(1/ 2) ( ) ( ).
d x x x C x x C x
C x C x

Здесь было использовано равенство
(1/2)

.
Полином интегрирования порядка 1/2 будет
1/2 1/2 3/2 5/ 2 1/2
1/2 1 2 3
1
( ) ... ...
nn
nn
n
C x a x a x a x a x a x
   
Свойства неопределённого интеграла дробного порядка
Ведѐм понятие неопределѐнного интеграла любого вещественного
порядка от функции f(x)
d
s
x:f(x) = F
(s)
(x) + C
s
(x).
Здесь сумма F
(s)
(x) + C
s
(x) — первообразная функция порядка s
функции f(x), для каждого конкретного полинома интегрирования C
s
(x).
Определение. Сумма функций F
(s)
(x) + C
s
(x) называется первообраз-
ной порядка s функции f(x), если производная порядка s функции
F
(s)
(x) + C
s
(x) равна функции f(x)
d
–s
x: (F
(s)
(x) + C
s
(x)) = d
–s
x: F
(s)
(x) = 0.
Очевидно, что функция F
(s)
(x) тоже будет первообразной порядка s
функции f(x).
Определение. Первообразную F
(s)
(x) функции f(x) будем называть
базовой первообразной f(x).
У функций возможно бесконечное количество первообразных, кото-
рые имеют одну базовую первообразную, но отличающиеся полиномами
интегрирования.
Определение. Неопределѐнный интеграл дробного порядка s функ-
ции f(x) является множеством всех первообразных порядка s функции f(x).

Страницы