Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

38
Традиционная экспонента, для дробных порядков оператора уже те-
ряет своѐ главное свойство не меняться при воздействии оператора диффе-
ренцирования и интегрирования (с точностью до сложения с полиномом
интегрирования). В этом легко убедиться, например, продифференцировав
экспоненту exp
x оператором Адамара порядка 1/2, т. е., d
–1/2
x: exp
x ≠ exp
x.
Подробно это можно записать
234
1/ 2 1/ 2 1/ 2
0
1/ 2 1/ 2 2 3/ 2 3 5/2 4 7/ 2
:exp : : 1 ...
! 1! 2! 3! 4!
2 2 2 2
... exp .
1 3 1 3 5 1 3 5 7
n
n
x x x x x
d x x d x d x
n
x x x x x
x






Прежде, чем получить экспоненты для операторов Адамара любого
порядка, обратим внимание на свойства традиционной экспоненты exp
x.
Свойство членов ряда a
i
(x) экспоненты exp
x при обычном диффе-
ренцировании и интегрировании (порядки операторов s = 1) имеют сле-
дующие свойства:
d
1
x: a
i
(x) = a
i+1
(x).
При дифференцировании все члены ряда, кроме первого, переводит-
ся в предыдущий
d
-1
x: a
i+1
(x) = a
i
(x).
Производная первого члена ряда экспоненты равна нулю
d
-1
x: a
1
(x) = 0.
Расписав эту производную через оператор Адамара, получим
1
11
1
1
: ( ) 0
(0)
x
d x a x x


.
Или в подробной записи
1
1 1 0 1 1 1
1
(0 1) (1) 1
: :1 0
(0 1 1) (0)
x
d x a d x x x x
.
Последнее свойство говорит о том, что первый член ряда экспоненты
пропорционален первому члену полинома интегрирования. Но ввиду того,

Страницы