Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40
1
1 1 1 1
1 (1 1 ) ( ) 1 1
:
( ) ( ) (1 1 ) ( ) (0) (0)
s
s s s
x s s
d x x x x x
s s s s s
.
Используя определение экспоненты любого вещественного порядка
s ≠ 0 можно получить, используя функцию Γ
–1
(s)x
–1+s
, которую назовѐм
стартовой функцией порядка s.
Коэффициент a
1
= Γ
–1
(s) является корректирующим и необходим для
правильного преобразования между членами ряда экспоненты exp
s
x.
В частности, для нулевого оператора d
0
x = 1 стартовая функция равна
нулю x
-1
/(0) = x
-1
/ = 0.
Найдѐм экспоненты exp
s
x для операторов любого вещественного по-
рядка s ≠ 0 для любой пары обратных операторов d
s
x
1
0 2 3
1
0
( ( ) ( ) ... ( ) ...)
()
( ) exp ( ).
()
s
s s s s n
s
sn
ss
n
x
d x d x d x d x d x
s
x
d x x C x
s




Здесь введѐн символ, который обозначает последовательное дейст-
вие n операторов интегрирования
( ) : : :... :
s n s s s s s
d x d x d x d x d x d x
.
После интегрирования получим ряд для экспоненты exp
s
x
1 1 2 1 3 1 4 1
1
exp ...
( ) ( ) (2 ) (3 ) (4 )
ns s s s s
s
n
x x x x x
x
ns s s s s
Определение. Функцию exp
s
x будем называть дробной экспонентой.
Если сделать сдвиг значения индекса m = n – 1, тогда экспоненту
можно записать в виде ряда нумерация в котором начинается с нулевого
элемента
( 1) 1 1 2 1 3 1 4 1
0
exp ...
(( 1) ) ( ) (2 ) (3 ) (4 )
m s s s s s
s
m
x x x x x
x
m s s s s s
Если гамма-функцию Эйлера выразить через функцию непрерывного
факториала (функция Гаусса) Π(x), Γ(x + 1) = Π(x) [12], то дробную экспо-
ненту можно записать так

Страницы