Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

41
( 1) 1 1 1 2 1 3 1
01
exp ...
(( 1) 1) ( 1) ( 1) (2 1) (3 1)
m s ns s s s
s
mn
x x x x x
x
m s ns s s s



Дробная экспонента, по сути, представляет бесконечное множество
экспонент любого вещественного порядка s.
Мощность этого множества равна мощности множества всех воз-
можных порядков оператора Адамара, или мощность континуума.
Определение. Для конкретных вещественных чисел s дробная экс-
понента будет давать экспоненты, которые будем называть частными экс-
понентами порядка s.
С помощью дробной экспоненты можно получить экспоненту любо-
го вещественного порядка для любой пары обратных операторов, подста-
вив вместо s конкретное значение модуля их порядков | s | обратных опера-
торов.
Можно экспоненту выразить в операторном виде.
Введѐм интегральный оператор G
s
(x), который назовѐм генератором
дробной экспоненты порядка s
0
( ) ( )
sn
s
n
x d x
G
.
Воздействие генератора экспоненты порядка s на стартовую функ-
цию порядка s даст дробную экспоненту порядка s
11
1
( ): exp ( )
( ) ( )
s ns
s s s
n
xx
x x C x
s ns


G
.
Теорема. Интегральный генератор экспоненты порядка s, действуя
на экспоненту порядка s, переводит еѐ в саму себя с точностью до прибав-
ления полинома интегрирования
( ):exp exp ( )
s s s s
x x x C xG
.
Теорема. Для каждой пары обратных операторов Адамара d
s
x име-
ется своя частная экспонента exp
s
x, причѐм единственная и, отличная от
экспонент других пар обратных операторов.

Страницы