Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

43
Теорема. Ряд дробной экспоненты exp
s
x c порядками s < 1 имеют
особую точку x = 0, в которой ряд расходится, а в остальных точках явля-
ются сходящимися рядом, с радиусом сходимости R равным бесконечно-
сти (R = ).
Заметим, что все степенные ряды с положительными целочисленны-
ми степенями в точке x = 0 всегда сходятся [13].
Поскольку каждая отдельная ветвь дробного анализа, имеет свою
экспоненту, отличную от экспонент других ветвей, имеет смысл рассмот-
реть качественные и количественные свойства частных экспонент из ра-
циональных ветвей дробного анализа, построить их графики и дать их
предварительную классификацию на основе, прежде всего, компьютерных
вычислений.
Экспонента в дробном анализе уже не является показательной функ-
цией, как в случае стандартного анализа (s = 1). В дробном анализе экспо-
ненты, в общем случае можно отнести к другому типу элементарных
функций, которые в стандартном анализе вырождаются в показательные
функции.
Поэтому свойство exp
s
(–x) = (exp
s
(x))
–1
, которое выполняется для
традиционной экспоненты, для частных экспонент уже не выполняется,
т. е. в общем случае справедливо неравенство exp
s
(–x) ≠ (exp
s
(x))
–1
, (s ≠ 1).
Воздействие на дробную экспоненту exp
s
(ax), a = const, оператором
Адамара интегрирования d
s
x и дифференцирования d
–s
x того же порядка
дают соотношения [14]
d
–s
x:exp
s
(ax) = a
s
exp
s
(ax),
d
s
x:exp
s
(ax) = a
–s
exp
s
(ax) + C
s
(x).
Пример. Для дифференцирования и интегрирования экспоненты
exp (ax) в стандартном анализе (соответственно s = –1 и s = 1), в частности
получаются стандартные формулы
d
–1
x:exp(ax) = a
exp(ax),

Страницы