Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

39
что в традиционном анализе полиномом интегрирования является констан-
та, то тогда первый член ряда пропорционален константе. Данной констан-
той должна быть единица, чтобы обеспечить равенство d
1
x: a
1
(x) = a
2
(x).
Для задания экспоненты достаточно задать первый член ряда и по-
следовательно интегрировать, получая при каждом интегрировании после-
дующий член ряда.
Получим традиционную экспоненту описанным способом, используя
данные соотношения между соседними членами ряда
0 1 2 3 0
1 2 3
234
00
exp ( ... ...)
(1 ... ...)1
:1 1 ... ... .
1! 2! 3! 4! ! !
n
n
nn
n
nn
x d x d x d x d x d x x
d x d x d x d x
x x x x x x
dx
nn






Распространим аналогичные свойства на экспоненты любого веще-
ственного порядка s, которые в дальнейшем будем обозначать как exp
s
x.
В степенном ряду экспоненты exp
s
x для пары обратных дробных
операторов Адамара d
s
x между соседними членами имеют место соотно-
шения d
s
x: a
i
(x) = a
i+1
(x), а первым членом ряда является ненулевая функ-
ция a
1
(x) = Γ
–1
(s)x
–1+s
, которая пропорциональна первому члену ряда поли-
нома интегрирования C
s
(x).
Первый член ряда при действии на него обратного оператора диффе-
ренцирования d
–s
x, так чтобы выполнялось равенство, справедливое для
традиционной экспоненты, а именно
1
1 1 1
1 (1 1 ) ( ) 1
:
( ) ( ) (1 1 ) ( ) (0)
s
s s s
x s s
d x x x x
s s s s s
.
Используя определение экспоненты любого вещественного порядка
s ≠ 0 можно получить, используя функцию Γ
–1
(s)x
–1+s
, которую назовѐм
стартовой функцией.
Или расписав подробно

Страницы