Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

55
4. О МНОГОЗНАЧНОСТИ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
И ИНТЕГРАЛОВ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО И МНИМОГО АРГУМЕНТА
Если функция f(x) представляется дробностепенным рядом с дроб-
ным шагом s [15—16]
0
1sn
n
nn
ax
, a
n
, s , n
0
, n ,
то для таких функций легко получить соотношения для дифференцирова-
ния и интегрирования дробных порядков s с помощью оператора Адамара
[14]
d
–s
x:f(λx) = λ
s
f
(s)
(λx), λ = const,
d
s
x:f(λx) = λ
–s
F
(s)
(λx) + C
s
(x).
Здесь C
s
(x) – полином интегрирования, F
(s)
(x) – базовая первообраз-
ная функции f(x).
Рассмотрим важные случаи, когда константа является отрицатель-
ным –λ или мнимым числом iλ, тогда можно получить соотношения для
интегралов и производных дробных порядков.
d
–s
x:f(–λx) = (–1)
s
λ
s
f
(s)
(–λx),
d
s
x: f(–λx) = (–1)
–s
λ
–s
F
(s)
(–λx) + C
s
(x),
d
–s
x:f(iλx) = i
s
λ
s
f
(s)
(iλx),
d
s
x:f(iλx) = i
–s
λ
–s
F
(s)
(iλx) + C
s
(x).
В случае дробного порядка дифференцирования и интегрирования
получаются дробные степени отрицательных и мнимых констант. Отрица-
тельное и мнимое число любой вещественной степени будет набором ком-
плексных чисел от одного для традиционного анализа (s = 1) до бесконеч-
ного счѐтного множества для иррациональных порядков. Для рациональ-
ных порядков степенями отрицательных и мнимых чисел будет конечное
множество комплексных чисел [19]
cos( (1 2 )) si( 1) n( (1 2 ))
s
s k i s k


,

Страницы