Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58
d
1/2
x:exp
1/2
(ix) = i
–1/2
exp
1/2
(ix) + C
1/2
(x).
Квадратные корни из мнимой единицы имеют по два решения
1/ 2 1/ 2
22
(1 ), (1 )
22
i i i i
.
Тогда для функций мнимого аргумента половинного порядка будем
иметь две производные и два интеграла
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/2
1/ 2 1/ 2 1/2 1/ 2
:exp ( ) exp ( ) 2 (1 )exp ( ),
:exp ( ) exp ( ) 2 (1 )exp ( ) ( ).
d x ix i ix i ix
d x ix i ix i ix C x


Из этих двух производных и интегралов главными значениям соот-
ветствует знак «+»
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/2 1/2
:exp ( ) 2 (1 )exp ( ),
:exp ( ) 2 (1 )exp ( ) ( ).
d x ix i ix
d x ix i ix C x


Из сказанного следует, что рассмотрение функций в дробном анали-
зе, которые выражаются через дробностепенные ряды с дробным шагом,
требует перехода в комплексную плоскость.
5. ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА ОПЕРАТОРОВ АДАМАРА
ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Внешняя алгебра операторов Адамара выражает их отношению к
функциям. При взаимодействии операторов дробного интегродифферен-
цирования и функций, выясняется что алгебраические свойства операторов
не всегда соответствуют внутренней алгебре операторов [8]. Поэтому име-
ет смысл рассмотреть данный вопрос более подробно.
Оператор Адамара линейный, т. е. удовлетворяет условиям однород-
ности и аддитивности
1. Однородность
В общем случае, для любых функций справедливо равенство
d
s
x:af(x) = ad
s
x:f(x), a = const .
В частности для степенных функций данное равенство будет

Страницы