Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

59
::
s q s q
d x ax ad x x
.
Это соотношение легко получить
( 1) ( 1)
::
( 1 ) ( 1 )
s q q s q s s q
qq
d x ax ax a x ad x x
q s q s

.
В частности справедливы равенства
d
s
x:1f(x) = d
s
x:f(x), a = const (унитарность),
d
s
x:0f(x) = 0 (умножение на ноль).
2. Аддитивность для сложения функций
:( ( ) ( )) : ( ) : ( )
s s s
d x f x g x d x f x d x g x
.
Аддитивность для сложения операторов
(d
s
x + d
q
x)f(x) = d
q
x:f(x) + d
s
x:f(x).
Рассмотрим действие произведения операторов Адамара и их компо-
зиций на функции.
Теорема. При последовательном действии операторов Адамара
d
s
x·d
r
x и их композиция d
s+r
x на функции в общем случае дают различные
результаты.
Это значит, что в общем случае справедливо неравенство
: ( ) : ( )d x d x f x d x f x
 

.
Это можно показать на примере степенных функций. При последова-
тельном действии операторов d
–1
x и d
–1/2
x на константу a, то получим
1/ 2 1 1/ 2
: :0 0d x d x a d x
.
При действии на функцию композиции операторов d
–3/2
x даст
3/ 2 0 3/ 2 3/ 2 3/ 2
(1) (1) 1
:0
( 3/2 1) ( 1/2)
2
d x a x x x
.
Из этого следует, что справедливо неравенство
1/2 1 3/2
::d x d x a d x a

.
Если расписать последовательно действие двух дробных операторов,
то получим

Страницы